Краткие теоретические сведения. Системе линейных уравнений можно сопоставить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных и правых частей уравнений

Системе линейных уравнений можно сопоставить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных и правых частей уравнений:

Над такой матрицей можно выполнять три типа преобразований.

1. Менять строки местами.

2. Умножать строки на ненулевые числа.

3. Прибавлять к одной строке другую, умноженную на число.

Если в ходе преобразований получается строка, целиком состоящая из нулей, то такую строку можно вычеркнуть.

Целью преобразований является приведение матрицы к ступенчатому виду. Ступенчатой называется такая матрица, что каждая следующая строка содержит слева больше нулей, чем предыдущая.

Если в ступенчатой матрице есть строка, в которой до вертикальной черты стоят нули, а после вертикальной черты стоит ненулевое число, то система не имеет решения.

Если число строк в ступенчатой матрице равно числу неизвестных, то решение единственное. Чтобы найти это решение, нужно вычислять значения неизвестных, начиная с последнего уравнения, и подставлять найденные значения в предыдущие уравнения.

Если число строк в ступенчатой матрице меньше числа неизвестных, то решений бесконечное множество. В этом случае неизвестные нужно разделить на основные и свободные.

Затем нужно выразить основные неизвестные через свободные. Полученные таким образом выражения называются общим решением системы.

Такой метод решения систем линейных уравнений называют методом последовательного исключения неизвестных или методом Гаусса.