Примеры решения типовых задач. Пример 1. Решите систему уравнений

Пример 1. Решите систему уравнений

Решение.

Шаг 1. Запишем матрицу этой системы

Шаг 2. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду. Сначала поменяем первую и вторую строки местами

Получим нули в первом столбце во второй и третьей строках. Для этого вычитаем из второй строки первую, умноженную на 2, а из третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3. Эти преобразования записаны справа от матрицы. Получаем

Получим нуль во втором столбце в третьей строке. Для этого выполним указанное преобразование. Получаем

Шаг 3. Получилась строка, в которой до черты стоят нули, а после черты ненулевое число (третья строка). Делаем вывод: система не имеет решений.

Ответ: система не имеет решений.

Пример 2. Решите систему уравнений

Решение.

Шаг 1. Запишем матрицу этой системы

Шаг 2. Приведем эту матрицу к ступенчатому виду

Шаг 3. Число строк в ступенчатой матрице совпадает с числом неизвестных, значит, решение единственное.

Шаг 4. Найдем решение. Для этого выполним преобразования.

Из последней матрицы получаем ответ , , Этот ответ можно также записать в виде тройки чисел .

Ответ: .

Пример 3. Решите систему уравнений

Решение.

Шаг 1. Запишем матрицу системы

Шаг 2. Приведем матрицу к ступенчатому виду

После вычеркивания нулевой строки получаем ступенчатую матрицу.

Шаг 3. В ступенчатой матрице число строк (2) меньше числа неизвестных (4). Делаем вывод: система имеет бесконечное множество решений.

Шаг 4. Выбираем основные и свободные неизвестные. Число основных неизвестных совпадает с числом строк в ступенчатой матрице (2). В качестве основных можно выбрать неизвестные, с которых начинаются уравнения. В данном случае и .