2015-05-10
18831
Пример 1. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции 
Решение.
Шаг 1. Находим область определения функции: 
.
Шаг 2. Определяем все стационарные точки. Для этого находим производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем подходящие корни.
. Корни уравнения: 
которые являются стационарными точками.
Шаг 3. Определяем все критические точки. Для этого найдем те точки, в которых производная не существует. Критических точек нет.
Шаг 4. Рисуем числовую ось, на нее наносим пустыми точки, в которых нарушается область определения, а затем закрашенными стационарные и критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, в каждом из которых производная сохраняет знак.
Шаг 5. Определяем знак производной на каждом из промежутков, выбирая точки из промежутков и подставляя в производную.
Шаг 6. Делаем выводы, используя достаточное условие экстремума и достаточное условие монотонности.
Функция убывает в интервале 
, возрастает в интервалах 
и 
. Кроме того, в окрестностях стационарных точек 
и 
производная меняет знак, значит, они являются точками экстремума. Таким образом, – точка максимума и 
– точка минимума 
.
Ответ: функция убывает в интервале 
, возрастает в интервалах и ; 
, 
.
