2015-05-10
1414
Задание 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, 1, -3) и перпендикулярной вектору 
.
Решение:
По формуле (1) получаем уравнение искомой плоскости
или 
.
Задание 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (2, 1, -3) и параллельной плоскости 
.
Решение:
Плоскость, параллельна плоскости , очевидно перпендикулярна вектору . Уравнение такой плоскости, проходящей через точку А (2, 1, -3) получено в задание №1.
Задание 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки 
, 
, 
.
Решение:
Шаг 1. Составить уравнение плоскости (1), проходящей через точку 
:
(*)
Шаг 2. Т.к. точки 
и 
также лежат на этой плоскости, их координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е.
или 
.
Выразим в системе уравнений две неизвестные через третью:
.
Шаг 3. Подставим полученные значения для В и С в уравнение плоскости (*):
.
Откуда после сокращения на А получим общее уравнение плоскости:
или 
или 
.
Задание 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку 
и:
а) параллельной оси Оу;
б) точку 
;
в) параллельно прямой 
.
Решение:
а) Пусть точка 
- произвольная точке, лежащей на искомой прямой, тогда вектор 
и единичный вектор 
, направленный по оси Оу, лежат на параллельных прямых и имеет пропорциональные компоненты:
.
Получили искомое уравнение прямой.
б) Искомое уравнение прямой получим по формуле (6):
или 
в) Шаг 1. Приведем уравнение прямой, заданной системой, к каноническому виду:
, 
Приравняем выражение для х:
, 
,
. (*)
Сложим уравнения системы: 
, откуда
. (**)
Приравним (*) и (**), получим уравнение прямой:
Шаг 2. Т.к. искомая прямая параллельна данной, то направляющий вектор у них может быть один 
. Тогда по формуле (7) уравнение искомой прямой имеет вид
.
