Окружность

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. ОКРУЖНОСТЬ ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕКРАВНОУДАЛЁННЫХ ОТ ФИКСИРОВАНОЙ

ТОЧКИ НАЗЫВАЕМОЙ ЦЕНТРОМ.

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ С ЦЕНТРОМ В ТОЧКЕ И РАДИУСА ХОРОШО ИЗВЕСТНО

(2.5)

УПРАЖНЕНИЕ. ИСПОЛЬЗУЯ ГРАФИК, НАЙТИ КООРДИНАТЫ ЦЕНТРА ОКРУЖНОСТИ И ЕЁ РАДИУС (рис.5)

Рис.5

ЭЛЛИПС

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. ЭЛЛИПС-ЭТО ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК НА ПЛОСКОСТИ ТАКИХ, ЧТО

СУММА РАССТОЯНИЙ ИХ ДО ДВУХ ФИКСИРОВАННЫХ ТОЧЕК ЕСТЬ ВЕЛИЧИНА ПОСТОЯННАЯ.

ТОЧКИ НАЗЫВАЮТСЯ ФОКУСАМИ ЭЛЛИПСА.

МЫ БУДЕМ РАССМАТРИВАТЬ «КАНОНИЧЕСКУЮ» СИСТЕМУ КООРДИНАТ, В КОТОРОЙ НАЧАЛО КООРДИНАТ ЯВЛЯЕТСЯ ЦЕНТРОМ СИММЕТРИИ ЭЛЛИПСА. КРОМЕ ТОГО ЭЛЛИПС СИММЕТРИЧЕН ОТНОСИТЕЛЬНО ОСЕЙ ТАКИХ КООРДИНАТ.

ПРИМЕР 2.3. НАЙТИ УРАВНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МЕСТА ТОЧЕК ПЛОСКОСТИ С КООРДИНАТАМИ , ДЛЯ КОТОРЫХ СУММА РАССТОЯНИЙ ДО ДВУХ ТОЧЕК РАВНА 4.

РЕШЕНИЕ. СОГЛАСНО ОПРЕДЕЛЕНИЮ 2.3. ИМЕЕМ:

УРАВНЕНИЕ ЯВЛЯЕТСЯ КАНОНИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЕМ ЭЛЛИПСА.

ОБЩИЙ СЛУЧАЙ СФОРМУЛИРОВАН В СЛЕДУЮЩЕЙ ТЕОРЕМЕ 2.3.

P

ТЕОРЕМА 2.3

F2

F1

ПУСТЬ НА ОСИ ПЛОСКОСТИ ЗАДАНЫ ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА И . СУММА РАССТОЯНИЙ ОТ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЭЛЛИПСА ДО ФОКУСОВ РАВНА 2а. (а ). ТОГДА «КАНОНИЧЕСКОЕ» УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА ИМЕЕТ ВИД

, (2.6)

РИС.6 ГДЕ (2.7)

ЗАМЕЧАНИЕ. ФОКУСЫ ЭЛЛИПСА ЛЕЖАТ НА ОСИ ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА В УРАВНЕНИИ (2.6) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.4 ЭКСЦЕНТРИСИТЕТОМ ЭЛЛИПСА НАЗЫВАЕТСЯ ВЕЛИЧИНА , КОТОРАЯ ВЫЧИСЛЯЕТСЯ ПО ФОРМУЛЕ

(2.8)

ТАК КАК У ЭЛЛИПСА , ТО ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ВСЕГДА МЕНЬШЕ ЕДИНИЦЫ. ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА ПОКАЗЫВАЕТ, НАСКОЛЬКО СИЛЬНО СПЛЮЩЕН ЭЛЛИПС К ПРЯМОЙ НА КОТОРОЙ ЛЕЖАТ ФОКУСЫ.

УПРАЖНЕНИЕ. ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ. ЧЕМ МЕНЬШЕ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ ЭЛЛИПСА, ТЕМ ЭЛЛИПС

1) БОЛЕЕ СПЛЮЩЕН 2) МЕНЕЕ СПЛЮЩЕН

ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА,ФОКУСЫ КОТОРОГО ЛЕЖАТ НА ОСИ , ЗАДАЮТСЯ УРАВНЕНИЯМИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПРЯМЫХ ЛИНИЙ

(2.9)

M

D

F

ОТНОШЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ОТ ЛЮБОЙ ТОЧКИ ЭЛЛИПСА ДО ФОКУСА И ДО БЛИЖАЙШЕЙ К НЕМУ ДИРЕКТРИСЫ РАВНО ЧИСЛЕННОМУ ЗНАЧЕНИЮ ЭКСЦЕНТРИСИТЕТА (РИС.7)

(2.10)

РИС.7