Преобразование линейных пассивных электрических цепей

Эквивалентное преобразование части пассивной электрической цепи состоит в такой ее замене другой пассивной цепью, при которой остаются неизменными токи и напряжения остальной цепи, не подвергшейся преобразованию. Простейшее преобразование – замена последовательно и параллельно соединенных потребителей эквивалентным потребителем.

При последовательном соединении роль эквивалентного сопротивления (или сопротивления эквивалентного потребителя) играет сумма сопротивлений всех потребителей (рис. 1.12).

(1.11)

Это следует из II закона Кирхгофа:

(1.12)

При двух последовательно соединенных потребителях:

(1.13)

При параллельном соединении роль эквивалентной проводимости (или проводимости эквивалентного потребителя) играет сумма проводимостей всех потребителей (рис. 1.13).

. (1.14)

Это следует из I закона Кирхгофа:

При двух параллельно соединенных потребителях:

(1.15)

Таким образом, для расчета цепей с последовательно включенными потребителями целесообразно их свойства выражать значениями сопротивлений, а для параллельно включенных – значениями проводимостей.

Определение эквивалентного сопротивления при смешанном соединении потребителей выполняется путем постепенного упрощения (сворачивания) исходной цепи.

Пример. Для цепи на рис. 1.14 определим общее сопротивление относительно выводов a и b.

1. Параллельное соединение R ₁ и R ₂:

.

2. Последовательное соединение R ₁₂ и R ₃:

_.

3. Последовательное соединение R ₄ и R ₅:

_.

4. Параллельное соединение R ₁₂₃ и R ₄₅:

.

5. Последовательное соединение R _ас и R _6:

.

Таким образом, эквивалентное сопротивление

Более сложными являются взаимные преобразования потребителей, соединенных звездой или треугольником. К таким преобразованиям следует обращаться в тех случаях, когда в цепи, подлежащей упрощению, нельзя выделить параллельное или последовательное соединения потребителей.

В узлах a, b, c и треугольник, и звезда на рис. 1.15 соединяются с остальной частью схемы. Преобразование треугольника в звезду должно быть таковым, чтобы при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды притекающие к этим точкам токи были одинаковы, тогда вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выразим U_ab треугольника через параметры потребителей и притекающие к этим узлам токи. Запишем уравнения Кирхгофа для контура и узлов a и b.

Заменим в первом уравнении токи I ₃ и I ₂ на соответствующие выражения:

По закону Ома напряжение U_ab для соединения потребителей треугольником:

. (1.16)

Теперь получим выражение для этого же напряжения при соединении потребителей звездой:

(1.17)

Для эквивалентности данных цепей при произвольных значениях токов I_a и I_b необходимо равенство напряжений U_ab для соединения потребителей треугольником и звездой. Это возможно только при одинаковых коэффициентах уравнений (1.16) и (1.17), т.е.

. (1.18)

Аналогично можно получить выражения для определения :

. (1.19)

Таким образом, сопротивление луча звезды равно произведению сопротивлений прилегающих сторон треугольника, деленному на сумму сопротивлений трех сторон треугольника.

Формулы обратного преобразования можно вывести независимо либо как следствие соотношений (1.18) и (1.19) через проводимости:

(1.20)

или через сопротивления:

(1.21)

Следовательно, сопротивление стороны треугольника равно сумме сопротивлений прилегающих лучей звезды и произведения их, деленного на сопротивление третьего луча.