Определители n-го порядка

Рассмотрим систему линейных уравнений

,

где a_ij , b_j ÎC, a_ij - коэффициенты при неизвестных, b_j - свободные члены.

В школьном курсе алгебры рассматривается решение систем линейных уравнений с 2 и 3 неизвестными. Обобщением этой задачи является задача решения системы s линейных уравнений с n неизвестными. Решение этой задачи приводит нас к необходимости введения новых понятий.

Определение. Таблицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, принято называть матрицей системы.

Обозначается

.

Матрица А состоит из s строк и n столбцов. Будем называть такую матрицу прямоугольной размера s´n. Если s=n, то матрицу будем называть квадратной.

Пусть А - квадратная матрица размера n´n

, a_ij ÎC.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице А, называется сумма n! слагаемых, имеющая вид

,

где t_k -произведение n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а s_k - есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке из первых и вторых индексов элементов, входящих в произведение t_k.

Обозначается определитель следующим образом

, где t_k= , а s_k - есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке

.

Примеры

1. Пусть n=2. Имеем квадратную матрицу второго порядка

и соответствующий ей определитель

= ,

где s₁ - число инверсий в подстановке и, следовательно, равно 0;

s₂ - число инверсий в подстановке и, следовательно, равно 1.

= . (1)

2. Если n=3, имеем квадратную матрицу 3-го порядка

Определитель 3-го порядка, соответствующий данной матрице

+,

где s₁ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₁ =0;

s₂ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₂ =2;

s₃ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₃=2;

s₄ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₄=3;

s₅ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₅=1;

s₆ - число инверсий в подстановке , следовательно, s₆=1.

Таким образом, определитель 3-го порядка

= . (2)

3) Вычислить определитель матрицы

.

Воспользуемся формулой (2)

½А½=3´1´8+2´5´(-1)+6´7´4-4´1´(-1)-2´6´8-5´7´3=24-10+168+4-96-105= =-15.