Правило Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, причем определитель системы отличен от 0.

Перепишем эту систему в матричной форме, если

тогда систему (1) можно записать в матричном виде, то есть

AX=B (2)

Так как матрица А невырожденная, тогда для нее существует обратная. Умножив обе части уравнения (2) на А^-1, получим

A^-1(AX)=A^-1BÞ (A^-1A)C=A^-1B Þ C=A^-1B (3)

Покажем, что Х - решение уравнения (2)

A(A^-1B)= (AA^-1)B=ЕВ=В Û B=B

Так как для любой невырожденной матрицы существует единственная обратная, то решение системы уравнений (1), записанной в матричной форме (2), однозначно определяется формулой (3). Любой элемент матрицы столбца, стоящей в правой части формулы (3), имеет вид

Получим формулы Крамера в общем виде, где

то есть определитель, полученный из D заменой j столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений

Запишем в матричном виде AX=B, где

; ;

Найдем определитель матрицы А

=-1; =-1; =-1; =1;

=4; =5; =-6; =3;

=3; =-4;

А=

Х₁=1; Х₂=-1; Х₃=2

Решим ту же систему по формуле Крамера. D=-1

D₁= =-1; D₂ = =1; D₃= =-2

x ₁= =1; x ₂= =-1; x ₃= =2.

Упражнения

1. Вычислить определители:

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

2. Решить матричные уравнения

a) ;

b) ;

c) ;

d) ;

e)

3. Решить системы уравнений по формулам Крамера

a) ; b)