На практике итерационный процесс должен быть ограничен конечным числом шагов (итераций) n. Количество итераций зависит от требуемой точности нахождения корня.
Для прекращения итерационного процесса применяются различные критерии, зависящие от вида функции y=f(x) в окрестности корня.
- Если функция достаточно «пологая» в окрестности корня, то итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится условие
|xn-1 - xn|< e (1.4)
- Если функция у=f(x) «круто» меняет свои значения в окрестности корня, то целесообразно использовать условие
|f(xn)|<e (1.5)
Если хоты бы одно из условие (1.4) или (1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью e принимается n-я итерация, т.е..
Если ни одно из этих условий не выполняется, то итерационный процесс (1.3) необходимо продолжить.
Рассмотрим несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений.
Использование приближенных методов для решения уравнения f (x) = 0 возможно лишь в том случае, когда функция f(x) удовлетворяет следующим условиям Теоремы1:
|
|
1. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b];
2. значения функции f(x) на концах отрезка имеют разные знаки (f(a) f(b) < 0);
3. монотонна для xÎ[a, b], т.е. производная f’(x) сохраняет знак,
т.е отрезок [a, b] содержит только один корень уравнения.
Рассмотрим несколько итерационных методов решения нелинейных уравнений.
1. метод касательных (метод Ньютона);
2. метод хорд;