Алгоритм метода касательных

1. Выберем начальное приближение. Начальное приближение x0 выбирается,исходя из условия f(x0) f ’’(x0) >0. Для функции(изображенной на рисунке) 2-ая производная больше 0 (f ’’(x0) > 0, функция выпукла книзу), f(a)<0, f(b)>0, следовательно, x0 = b (в т. x0 = а данное условие не выполняется). 2.Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке A0[x0, f(x0)]. 3.В качестве 1-го приближения корня х1 возьмем абсциссу точки пересечения этой касательной с осью ОХ. 4.Через точку А1[x1, f(x1)]. снова проведем касательную, абсцисса точки пересечения которой с осьюОХ даст нам второе приближение корня х2 и т.д. 5.Продолжим процесс, в результате получим итерационную последовательность x0, x1, x2,……xn, 6. Формула для вычисления n-ого приближения 7.Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока две соседние итерации не станут достаточно близкими, т.е. пока не выполнится одно из условий Или

Если хоты бы одно из условие (1.4) или (1.5) выполняется, то в качестве приближенного решения уравнения (1.1) с точностью e принимается n-я итерация, т.е.. Если ни одно из условий не выполняется, то итерационный процесс необходимо продолжить.

Аналогичным образом находиться корень и в случае, когда f ^’’(x)<0 для xÎ [a b] (см. Теорема1)

f(x₀) f ^’’ (x₀)>0.

Для функции вторая производная f ^’’ (x)=1/х положительна на всем отрезке [0.5, 3] (функция – выпуклая книзу), f(0.5)<0, f(3.0)>0, следовательно x₀=b=3.

4. Корень уравнения x^* с заданной точностью ε вычисляется по формуле

(1.7)

Последовательность действий. Подготовьте таблицу, как показано на рисунке 1. Введите в ячейки A4 текст Начало отрезка a=, D4 = 0.5, A5 текст Конец отрезка b=, D5 = 3.0, A6 текст Начальное приближение x0=, D6 = D5, A7 текст Точность вычисления e=, D7 =0,01 2.Используя автозаполнение введите номер итерации nв столбце А. 3. Введите в ячейки В13 =D6 (значение x0) C13 =B13*ln(B13)-1(формулу для вычисления значения функции), D13 =ln(B13)+1 (формулу для вычисления значения ее производной), E13 =abs(C13) (формулу для вычисления абсолютного значения функции |f(xn)|). 4. B14 =B13-C13/D13 (формулу для вычисления 1-го приближения) 5.Выделите ячейки C13, D13, E13 и скопируйте на строку ниже, т.е. соответственно в C14, D14, E14 и вы получите значения функции, ее производной и значение абсолютной величины функции в точке первого приближения х1. 6.Выделите блок ячеек В14-Е14 и скопируйте их вниз до конца таблицы. 7.Итерационный процесс следует продолжить до тех пор, пока не выполнится условие |f(xn)|< e Ячейки E15-E17 тонированы серым цветом с использованием Условного форматирования(см. далее)

За приближенное значение корня уравнения с точностью e=0.01принимается 2-я итерация, т.е. x*»1,76656.