Переходная матрица

Эта характеристика применяется для описания многоканальных систем вида (2.1) - (2.2) при нулевых входных воздействиях, то есть для автономных систем типа:

. (2.12)

Переходная матрица - это решение матричного дифференциального уравнения

(2.13)

при нулевых входных воздействиях и единичных начальных условиях

где I =

Она обладает следующими свойствами:

для любого ),

(2.14)

Зная переходную матрицу, можно определить реакцию системы (2.6)

на произвольное входное воздействие при любых начальных условиях x( 0 ) по выражению

. (2.15)

Здесь первое слагаемое - свободная составляющая движения, второе - вынужденная. Для выходных переменных имеем

. (2.16)

Если система имеет нулевые начальные условия x (0)=0, то

, (2.17)

где . (2.18)

Матрица называется матричной импульсной перeходной функцией, потому что каждая компонента ее представляет собой импульсную переходную функцию , которая является реакцией i -го выхода на j -ое импульсное входное воздействие при нулевых остальных входных воздействиях и начальных условиях.

Для многоканальных систем может быть определена также матричная переходная характеристика в виде

. (2.19)

Для линейных систем с постоянными параметрами переходная матрица Ф(t) представляет собой матричную экспоненту

(2.20)

где .

С учетом (2.20) выражения (2.15) и (2.16) принимают вид

(2.21)

. (2.22)

Матричная импульсная перeходная функция линейной системы с постоянными коэффициентами следующая

. (2.23)

При небольших размерах или простой структуре матрицы A выражение (2.20) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы A следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.