Раздел 3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Найти производные от функций:

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

3.5. . 3.6. .

3.7. . 3.8. .

3.9. . 3.10. .

3.11. . 3.12. .

3.13. . 3.14. .

3.15. . 3.16. .

3.17. . 3.18. .

3.19. . 3.20. .

3.21. .

3.22. Найти производную 2-ого порядка от функций:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3.23. Найти производные от у по х:

Найти интервалы монотонности данных функций:

3.24. . 3.25. .

3.26. . 3.27. .

Провести полное исследование функций и построить ее график:

3.28. . 3.29. .

3.30. . 3.31. .

3.32. . 3.33. .

3.34. . 3.35. .

2.36. . 3.37. .

3.38. . 3.39. .

3.40. . 3.41. .

3.42. .

3.43. Найти производные от y по x второго порядка:

1). x=ln t, y=t²-1;

2). x=arcsin t, y=ln (1-t²);

3). x=a ( – sin ), y=a (1-cos ).

3.44. Найти общие выражения для производных порядка n от функций

1). y=e^ax; 2). y=

3.45. Показать, что функция y = e^x sin x удовлетворяет соотношению y''-2y'+2y=0

3.46. Найти дифференциалы второго порядка от функций:

1). y= ;

2). y= 4^{- x .}

3.47. Найти пределы по правилам Лопиталя.

1). ; 2). ; 3). ; 4).

5). ; 6). ; 7). ; 8). ;

9). n>0; 10). ; 11). .

3.48. Разложить многочлен x³+2x²+3x+4 по степеням двучлена x – 1, пользуясь формулой Тейлора.

3.49. Разложить функцию f(x)=x⁴-4x² по степеням x + 2, пользуясь формулой Тейлора.

3.50. Применить формулу Маклорена к функции f(x)= sin x, полагая n=5.

3.51. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точках пересечения этого графика с осью ординат:

а)

b)

3.52. Найти абсциссу точки графика функции y=f(x), в которой касательная к нему параллельна заданной прямой:

a) , прямая 2x+y+4=0

b) , прямая 2x + y – 5=0

3.53. В точке А(-5,0) проведена касательная к графику функции . Найти длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответы

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ; 3.4. ; 3.5. ;

3.6. ; 3.7. ; 3.8. ; 3.9. ; 3.10. ; 3.11. ; 3.12. ; 3.13. ; 3.14. 0; 3.15. ; 3.16. ; 3.17. ; 3.18. ; 3.19. ;

3.20. ; 3.21. ;

3.22. ; 3.23. ;

3.24. ;

3.25. ; 3.26. ; 3.27. монотонно возрастает; 3.43. 1). 4t², 2). - , 3). -

3.44. 1). aⁿ e^ax; 2). ; 3.46. 1). ; 2). 4 .

3.47. 1). ; 2). ln a; 3). ; 4). 1,5; 5). ; 6). 2; 7). ; 9). 0; 10). 0,5; 11). 0.

3.48. 10+10 (x-1)+5 (x-1)²+(x-1)³. 3.49. (x+2)⁴-8 (x+2)³+20 (x+2)²-16 (x+2).

3.50. , где 0< <1. 3.51. a)y=2x+10. b) y=-2x. 3.52. a) 0,5. b) 0.

3.53. 13.