Реализация метода Якоби в MS Excel

Задание 3.2. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений(3.10) методом Якоби.

Проверим, можно ли использовать изложенный выше итерационный метод для заданной системы, т.е. выполняется ли условие «преобладания диагональных коэффициентов» (3.3), что обеспечивает сходимость этого метода (|А₁₁|=8, |А₂₂|=6, |A₃₃|=4)

Приведем эту систему к нормальному виду:

, (3.12)

или в матричной форме ,

где

,

Последовательность действий: 1. Оформим таблицу, как показано на рис. 3.3. 2. Введемв ячейкиВ6:Е8 -исходные данные матрицы и , в ячейку Н5 - значение e. В столбце А сформируем номер итерации n с помощью автозаполнения. В ячейки В11:D11введем начальное приближение решения. 3. В ячейках В12:D12 запишем формулы для вычисления первого приближения, используя выражение (4.4). Эти формулы имеют вид: B12 = $E$6 + B11*$B$6 + C11*$C$6 + D11*$D$6, C12 = $E$7 + B11*$B$7 + C11*$C$7 + D11*$D$7, D12 = $E$8 + B11*$B$8 + C11*$C$8 + D11*$D$8. Эти формулы можно записать иначе, используя функцию Excel СУММПРОИЗВ. 4. Введем формулы в ячейки Е12 = ABS(B11-B12) и скопируем ее вправо, в ячейки F12:G12. Н12 = МАКС (E12:G12) (формулу для вычисления M(k). Для этого используем выражение (3.9)), Функция МАКСнаходится в категории статистические. 5. Выделим ячейки В12:Н12 и скопируем их вниз до конца таблицы. Таким образом, получим k-ое приближение решения СЛАУ.

Рис.3.3. Расчетная схема метода Якоби Определим количество итераций, необходимое для достижения заданной точности eи приближенное решение системы. Для этого оценим степень близости двух соседних итераций по формуле (3.9). В ячейках столбца Н установим Условное форматирование,о котором уже говорилось при изучении раздела1 (Решение нелинейного уравнения). Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью е=0.1 4-ую итерацию, т.е. Изменяя значение eв ячейке Н5, получим новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Исследуем характер итерационного процесса. Для этого выделим блок ячеек А10:D20 и построим графики, отражающие сходимость итерационного процесса, используя Мастер диаграмм. Приведенные графики подтверждают сделанный ранее вывод о сходимости итерационного процесса.