Метод Якоби является одним из приближенных методов решения СЛАУ

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

Приближенные методы решения СЛАУ. Метод Якоби

Матричные функции в MS Excel

Решение СЛАУ с помощью надстройки «Поиск решения»

Реализация метода в MS Excel

Приближенные методы решения СЛАУ. Метод Якоби

Метод Якоби является одним из приближенных методов решения СЛАУ.

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в общем случае имеет вид:

, (3.1)

В некоторых случаях эту систему удобнее записывать в матричной форме:

, (3.2)

где А - матрица системы, - вектор решения, - вектор свободных членов.

Система (3.1 - 3.2) имеет единственное решение, если матрица А является невырожденной, т.е. определитель матрицы не равен 0 (detA ¹ 0).

Предполагаем, что выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов» матрицы системы А, т.е.

(3.3)

т.е. модули диагональных элементов каждой строки больше суммы модулей всех остальных элементов. Что обеспечивает сходимость итерационного процесса.

Предполагаем, что диагональные элементы матрицы А отличны от нуля.

Преобразуем систему (3.1) к эквивалентной ей, выражая неизвестное x_i из i -ого уравнения:

(3.4)

Система (3.4) называется системой ,приведенной к нормальному виду.

Введём обозначения:

Систему (3.4) можно записать в матричной форме:

(3.5)

где

(3.6)

Систему (3.6) решаем методом последовательных приближений (итераций).

За начальное приближение (нулевую итерацию) принимаем столбец свободных членов , т.е.

Используя выражение (3.6), строим последовательность приближений (итераций):

(3.7)

Таким образом, получили последовательность приближений:

. (3.8)

Если эта последовательность (4.9) имеет предел , то он является точным решением системы (3.1).

На практике итерационный процесс продолжается до тех пор, пока два соседних приближения не станут достаточно близкими.

Критерий близости двух приближений может быть определен следующим образом:

(3.9)

Если условие (3.9) выполнено, то итерационный процесс прекращается и за приближенное решение системы (3.1) с заданной точностью e принимается k-ое приближение, т.е.

.