Рассмотрим деформацию призматического стержня, к которому приложена осевая растягивающая сила F (см. рис.3.15). В поперечных сечениях стержня будут действовать нормальные напряжения . В направлении этих напряжений происходит продольная линейная деформация – e.
Поскольку стержень находится в линейном напряженном состоянии, согласно закону Гука, эта деформация составляет . |
Рис.3.15
В поперечном направлении происходит поперечная деформация – e¢, величина которой определяется выражением
e¢ = - ne. (*)
Заметим, что напряжения в направлении поперечной деформации отсутствуют. Очевидно, что эта деформация обусловлена напряжениями s, которые действуют вдоль оси стержня, т.е. перпендикулярно к направлению поперечной деформации. Подставив в формулу (*) выражение для продольной деформации, получим зависимость поперечной деформации от напряжений, которые вызывают эту деформацию
.
В теле, которое находится в пространственном напряженном состоянии, выделим главными площадками элементарный параллелепипед.
|
|
Рис.3.16
По граням такого параллелепипеда (рис.3.16) будут действовать только главные напряжения: s 1, s 2 и s 3 и, поскольку касательные напряжения отсутствуют, прямые углы граней искажаться не будут. Будут происходить только линейные деформации элемента в трех главных направлениях: ε 1, ε 2 и ε 3.
Каждая из этих деформаций будет зависеть от трех напряжений s 1, s 2 и s 3. Так, используя принцип независимости действия сил, для деформации ε 1 можно записать
. (**)
Здесь: ε 1(s 1) – продольная деформация от напряжения s 1, определяемая по формуле
;
ε 1(s 2) и ε 1(s 3) – поперечные деформации от напряжений s 2 и s 3
, .
Подставляя эти выражения в формулу для ε 1, после несложных преобразований будем иметь
.
Аналогично получим формулы для ε 2 и ε 3.
Эти формулы отражают связь между линейными деформациями и нормальными напряжениями, носят название обобщенного закона Гука, записанного через главные напряжения, и имеют вид
(3.17)
В общем случае, если элемент выделен произвольными площадками, по его граням, наряду с нормальными напряжениями, будут действовать также и касательные напряжения, которые приведут к искажению прямых углов граней элемента (рис.3.17). Из-за малости этих искажений полагаем, что они не влияют на линейные деформации. Поэтому, в случае произвольных напряжений обобщенный закон Гука можно записать в аналогичном виде.
Такая форма записи обобщенного закона Гука является наиболее общей
(3.18) |
Рис.3.17
В случае плоского напряженного состояния (sz =0) (рис.3.18) обобщенный закон Гука имеет вид
(3.19) |
Рис.3.18
|
|
Заметим, что, несмотря отсутствие в направлении z напряжений, ez ¹0. Очевидно, что это обусловлено эффектом поперечной деформации материала.