Главные напряжения и главные площадки при плоском НС

Исследуем соотношения (3.5) с целью определения:

1) экстремальных нормальных напряжений (максимальных – s _max и минимальных – s _min) и положения площадок, по которым они действуют;

2) главных напряжений и положения главных площадок.

Напомним, что для определения экстремальных значений функции необходимо определить от нее производную по независимой переменной, приравнять производную нулю и определить корни полученного уравнения. Подставляя корни в функциональное выражение, получим экстремальные значения функции.

Таким образом, при определении экстремальных нормальных напряжений необходимо получить производную от s_a по a, которая после преобразований с использованием известных тригонометрических формул (аналогичные преобразования см. в разделе «Геометрические характеристики плоских сечений») примет вид

.

Заметим, что полученное выражение оказалось равным

.

Согласно методике определения экстремума, приравниваем полученное выражение к нулю и обозначим a = a *, где a * угол наклона площадки, на которой действует одно из экстремальных напряжений (второе экстремальное напряжение, согласно (3.6), действует по площадке a *+90°)

. (*)

Здесь следует отметить, что такое же соотношение получим в случае использования производной от s_{a+ 90°}. Из выражения (*) следует важный вывод: на площадках, по которым действуют экстремальные нормальные напряжения, касательные напряжения отсутствуют (), т.е. площадки экстремальных нормальных напряжений являются главными площадками, а главные напряжения являются экстремальными.

Разделив левую часть уравнения (*) на , получим формулу для определения угла наклона главных площадок

. (3.7)

Это уравнение имеет бесчисленное множество корней: ; ; ; …….., которые определяют положение только двух взаимно перпендикулярных площадок, ориентированных под углами и . По этим площадкам действуют два главных напряжения, которые, в отличие от пространственного напряженного состояния, будем обозначать: s _max и s _min.

Получим формулу для определения значений главных напряжений s _max и s _min, для чего подставим и в выражение для s_a (3.2). При этом необходимо выполнить преобразования и подстановки аналогичные тем, которые проводились при выводе формул для главных моментов инерции сечений. После таких преобразований формула для главных напряжений при плоском НС принимает вид

. (3.8)

Здесь знак «+» соответствует s _max, знак «-» соответствует s _min.

Рис.3.12

Формулы (3.7) и (3.8) в том виде, как они записаны, позволяют определить положение главных площадок (углы и ) и значения главных напряжений (s _max и s _min), однако не дают возможность установить соответствие между площадками и главными направлениями s _max и s _min. Здесь необходимо использовать следующее правило: направление s _max всегда проходит через те четверти элемента, в которых стрелки касательных напряжений сходятся к общему для них ребру.