Метод D-разбиения

На практике бывает необходимо знать не только запас, который можно оценить с помощью какого - либо критерия устойчивости, но и всю область устойчивости по параметрам. Этой цели служит метод D - разбиения, позволяющий построить такую область в плоскости одного или двух параметров.

Рассмотрим сначала этот метод для одного параметра D, который входит в характеристическое уравнение системы линейно:

A(p) = N(p) + D M(p) = 0. (4.38)

В (4.38) заменим p на j и получим уравнение

(4.39)

соответствующее границе устойчивости согласно критерия Михайлова (условие (4.24)). Разрешим его относительно D

(4.40)

Полученное комплексное представление параметра D позволяет изобразить его в виде вектора на плоскости Конкретное численное значение D(j ) зависит от частоты, и при изменении в диапазоне от - до + конец вектора выписывает на комплексной плоскости кривую D - разбиения, представляющую собой границу устойчивости (ее можно рассматривать также как отображение мнимой оси плоскости корней).

Эта кривая симметрична относительно вещественной оси, поэтому достаточно построить ее часть, соответствующую положительным значениям частоты, а вторую часть получить зеркальным отображением относительно вещественной оси.

Риc. 4.24. Иллюстрация построения кривой D - разбиения

Кривая D разбивает плоскость параметра на несколько областей с различным условием устойчивости, для определения которого необходимо выбрать по одному значению D в каждой из них и проверить устойчивость с помощью какого-либо критерия. Если система устойчива при выбранном D, то она будет устойчива и при других значениях из этой области.

Обычно в качестве параметра D фигурирует реальный параметр системы (коэффициент усиления, постоянная времени, момент инерции и так далее, который может иметь только вещественные значения. Представление его комплексным выражением D(j ) носит формальный характер, а область устойчивости ограничивается отрезком вещественной оси.

Метод D - разбиения применим и в случае построения области устойчивости для двух параметров и , которые входят линейно в характеристическое уравнение

A(p, ) = 0. (4.41)

В этом случае уравнение границы устойчивости

A(j , ) = 0 (4.42)

распадается на два независимых уравнения, соответствующих равенству нулю вещественной и мнимой части (4.42)

(4.43)

Эти два уравнения параметрически задают кривую D - разбиения. Область устойчивости определяется аналогично случая одного параметра D.