Пояснения к задачам 1-10

УМК «Управление технологическими процессами атомных электростанций»

Типовые задачи с решениями и MATHCAD программами

Часть 1

Разработано в рамках мероприятия 2.5.5.1

Авторы Н.Н.Акифьева, Р.В.Радченко

(рекомендуется как учебное пособие при изучении дисциплины «Теория автоматического регулирования»

ООП бакалавриата направления 140400 «Ядерная энергетика и теплофизика»)

Пояснения к задачам 1-10.

Общее решение НЛДУ можно представить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (ОЛДУ) - и частного решения неоднородного уравнения (НЛДУ) - . Индексы «св.» и «вын.» Здесь означают, что функция, представляющая общее решение ОЛДУ, описывает свободное «движение» системы, после нанесения возмущения (или передачи управления), а функция, представляющая частное решение НЛДУ, описывает вынужденное движение системы.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения может быть записано в виде:

, где

- функции решения, соответствующие действительным корням характеристического уравнения, а - функции решения, соответствующие комплексно-сопряженным корням характеристического уравнения. Для того, что записать перечисленные функции в общем виде, рассмотрим виды корней характеристического уравнения.

ОЛДУ ставится в соответствие алгебраическое характеристическое уравнение:

, полином левой части которого можно представить в виде (вид соответствует разложению по корням):

.

При этом - различные действительные корни кратности , а - различные пары комплексно-сопряженных корней кратности , , где - порядок дифференциального уравнения. Отдельным сомножителям полинома , представляющим разложение по -му действительному корню поставим в соответствие следующие функции общего решения ОЛДУ:

Сомножителям полинома , представляющим разложение по -й паре комплексно сопряженных корней поставим в соответствие следующие функции общего решения ОЛДУ:

Количество всех коэффициентов – произвольных постоянных должно быть в точности равно порядку дифференциального уравнения

Частное решение НЛДУ находится достаточно просто, если функция правой части имеет специальный вид. В теории автоматического регулирования рассматриваются так называемые характеристические случаи, когда на вход АСР или звена подается ступенчатое возмущение, импульсное возмущение или гармонический сигнал. Более сложные входные сигналы раскладываются на простые и, благодаря суперпозиции решения, имеющего место для линейных дифференциальных уравнений, переходные процессы при таких сложных возмущениях, могут быть представлены как сумма переходных процессов, являющихся реакциями на простые возмущения (на которые был разложен входной сигнал).

Если правая часть НЛДУ имеет вид или , то частное решение ищется в виде , -полиномы -й степени, если не является корнем характеристического уравнения. Если является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищется в виде , где - кратность корня . Если правая часть представляет собой линейную. Комбинацию вышеуказанных функций, то частное решение уравнения равно сумме решений, соответствующих каждому члену линейной комбинации.