Задача 6. Исследовать изменение во времени выходного расхода (переходный процесс) в системе «Емкость с самовыравниванием уровня» при ступенчатом изменении (возмущении)

Исследовать изменение во времени выходного расхода (переходный процесс) в системе «Емкость с самовыравниванием уровня» при ступенчатом изменении (возмущении) входного расхода.

Рисунок к задаче 6.

До прихода возмущения в системе «Емкость с самовыравниванием уровня» самопроизвольно установилось равновесие, которое можно выразить условием равенства расходов на входе в емкость и выходе из емкости . Естественно, в состоянии равновесия уровень остается неизменным. Возмущенный расход опишем функцией , где - ступенчатое возмущение. Изменение выходной переменной . Изменение расхода свяжем с изменением уровня:

, где - площадь поперечного сечения бака, , - изменение уровня в м.

Выразим через изменение уровня (это и есть явление самовыравнивания!). Если мало, то допустимо выражение , где а – коэффициент, имеющий размерность . Окончательно получим . Полученное уравнение есть НЛДУ первого порядка. Такое уравнение динамики имеют типовые звенья, именуемые в теории автоматического управления апериодическими. Решим его относительно .

Характеристическое уравнение имеет единственный действительный отрицательный корень - . Следовательно, общее решение ОЛДУ: . Частное решение НЛДУ . Таким образом получили функцию, описывающую переходный процесс: .