Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ), описывающее простой переходный процесс устойчивой линейной АСР (вынужденное «движение»). Построить график переходного процесса, выделяя в возмущенном «движении» вынужденные и свободные составляющие.
Передаточная функция системы (1).
Дифференциальное уравнение АСР, получаемое в результате обратного преобразования Лапласа для левой и правой части выражения (1)
:
(2)
Простой переходный процесс – это характеристический процесс линейной АСР или ее отдельного звена, исследуемый при подаче на вход АСР простого ступенчатого возмущения . Подставим в правую часть выражения (2) :
(3). Полученное выражение – есть выражение неоднородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами ().
Общее решение этого уравнения можно представить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (ОЛДУ) - и частного решения неоднородного уравнения (НЛДУ) - .
Для нахождения общего решения ОЛДУ запишем характеристическое уравнение:
. Это уравнение имеет один действительный корень - . Зная корни характеристического уравнения, можно записать общее решение ОЛДУ:
.
Для нахождения частного решения представим функцию правой части в виде :
, т.е. , , . Комплексное число , которое в нашем случае есть не совпадает с единственным корнем характеристического уравнения. Следовательно, частное решение НЛДУ:
.
Для определения значение постоянной А подставим полученное частное решение в дифференциальное уравнение (2):
, то есть .
Тогда общее решение НЛДУ, описывающее простой переходный процесс в АСР
. Значение коэффициента должно быть найдено из начальных условий. Отметим, что в условии задачи не оговаривались начальные условия. Для решения НЛДУ, описывающего характеристический переходный процесс в линейной АСР, эти условия всегда нулевые по функции и всем актуальным для этого уравнения производным. Таков принцип анализа АСР в линейной теории автоматического регулирования, следующий из суперпозиции переходных процессов по отдельным возмущениям. Из нулевых начальных условий получаем
Таким образом, функция, описывающая простой переходный процесс в исследуемой АСР , при этом функция, описывающая свободное движение - , а функция, описывающая вынужденное движение - .
Переходный процесс, характерный для АСР первого порядка, имеющей один действительный отрицательный корень характеристического уравнения, называется апериодическим, поскольку не имеет колебательной составляющей в свободном «движении».
Построим график простого переходного процесса в данной АСР, выделяя свободную и вынужденную составляющую, для чего воспользуемся программой MATHCAD.
На графиках представлены простые переходные процессы трех апериодических АСР, различающихся постоянными времени.