Задача 3. Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ), описывающее переходный процесс нейтрально устойчивой линейной АСР(вынужденное «движение»)

Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение (НЛДУ), описывающее переходный процесс нейтрально устойчивой линейной АСР (вынужденное «движение»). Построить график переходного процесса, выделяя в возмущенном «движении» вынужденные и свободные составляющие.

Передаточная функция системы (1).

Дифференциальное уравнение АСР, получаемое в результате обратного преобразования Лапласа для левой и правой части выражения (1)

:

(2)

Простой переходный процесс – это характеристический процесс линейной АСР или ее отдельного звена, исследуемый при подаче на вход АСР простого ступенчатого возмущения . Подставим в правую часть выражения (2) :

(3).

Полученное выражение – есть выражение неоднородного линейного дифференциального уравнения 1-го порядка с постоянными коэффициентами ().

Общее решение этого уравнения можно представить как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения (ОЛДУ) - и частного решения неоднородного уравнения (НЛДУ) - .

Для нахождения общего решения ОЛДУ запишем характеристическое уравнение:

. Это уравнение имеет два действительных корня - и . Зная корни характеристического уравнения, можно записать общее решение ОЛДУ:

.

Для нахождения частного решения представим функцию правой части в виде :

, т.е. , , . Комплексное число , которое в нашем случае есть совпадает с одним из корней характеристического уравнения, а именно с корнем , имеющим кратность . Следовательно, частное решение НЛДУ:

.

Для определения значение постоянной А подставим полученное частное решение в дифференциальное уравнение (3):

, то есть .

Тогда общее решение НЛДУ, описывающее простой переходный процесс в АСР

.

Значение коэффициентов должно быть найдено из начальных условий. Отметим, что в условии задачи не оговаривались начальные условия. Для решения НЛДУ, описывающего характеристический переходный процесс в линейной АСР, эти условия всегда нулевые по функции и всем актуальным для этого уравнения производным. Таков принцип анализа АСР в линейной теории автоматического регулирования, следующий из суперпозиции переходных процессов по отдельным возмущениям. Из нулевых начальных условий получаем

Таким образом, функция, описывающая простой переходный процесс в исследуемой АСР , при этом функция, описывающая свободное движение - , а функция, описывающая вынужденное движение - . Сгруппируем слагаемые

Переходный процесс, характерный для данной АСР имеет в своей структуре «зависающую горизонталь», обусловленную нулевым корнем характеристического уравнения. Эта «зависающая» компонента свободного движения в простом переходном процессе будет давать ненулевую установившуюся ошибку регулирования. Отметим, что поскольку в задаче рассматривается система с интегрированием по отношению к управлению в замкнутом состоянии (или астатическое звено), простой переходный процесс без ошибки предполагал бы в пределе «движение» системы по закону . Но в нашем случае в пределе выделяется ошибка по отношению к данному закону, равная .

В таких случаях говорят, что АСР нейтрально устойчива.

Построим график простого переходного процесса в данной АСР, выделяя свободную и вынужденную составляющую, для чего воспользуемся программой MATHCAD.