Матричный анализ электронных схем основан на применении теории четырехполюсников (метод четырехполюсника) и обобщенных методов определяющих величин (узловых напряжений, контурных токов).
В основе анализа методами теории четырехполюсников лежит представление электронной схемы в виде сложного четырехполюсника, который состоит из соединения более простых, параметры которых известны или легко определяются. Исследуя способ соединения простых четырехполюсников и используя соответствующие правила (10.82)-(10.89), находят параметры электронной схемы как сложного четырехполюсника. Затем с помощью найденных параметров сложного четырехполюсника рассчитывают все необходимые функции и характеристики электронной схемы по формулам табл. 10.3, известным из теории четырехполюсников.
В общем случае электронная схема может быть представлена не одним, а несколькими различными видами соединения простых четырехполюсников. Такие соединения называют неоднородными. Основной особенностью расчета сложных четырехполюсников, представленных неоднородным соединением, является необходимость переходов от одной системы параметров к другой, например с помощью табл. 10.1. Это затрудняет расчеты.
Анализ методом четырехполюсника применим лишь к регулярным соединениям, т. е. при условии выполнения равенства (10.1). Это ограничивает его применение, особенно когда электронную схему вообще нельзя представить регулярным соединением.
В качестве примера рассмотрим схему транзисторного усилителя (рис. 12.4, α). Ее можно представить соединением трех простых четырехполюсников N 1, N2 и N3 (рис. 12.4,6), каждый из которых (рис. 12.4, в) характеризуется, например, соответствующей матрицей Y-параметров: , и . Заметим, что четы-
рехполюсники N2 и N3 соединены последовательно, образуя более сложный четырехполюсник N 4, показанный пунктиром. Его параметры можно получить в соответствии с формулой (10.83), суммируя матрицы Z-параметров четырехполюсников N2 и N3:
но для этого необходимо предварительно рассчитать эти матрицы с помощью матриц , и формул пересчета (табл. 10.1). Четырехполюсники N 1и N 4 соединены параллельно, образуя четырехполюсник N, которым представлен усилитель. Его матрицу Y-параметров можно найти в соответствии с выражением (10.85), суммируя матрицы Y-параметров четырехполюсников N 1и N 4
,
но для этого необходимо матрицу предварительно пересчитать в . Получив матрицу У-параметров усилителя, с помощью соответствующих формул (табл. 10.3) рассчитываем нужные входные и передаточные функции,
Обобщенные методы определяющих величин лишены недостатков, свойственных методу четырехполюсника. Обобщения, характерные для них, относятся к методике составления матрицы узловых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений. Наибольшее распространение для электронных схем получил обобщенный метод узловых напряжений. В его основе лежит составление
матрицы узловых проводимостей или просто матрицы проводимостей электронной схемы и дальнейший расчет с ее помощью требуемых входных и передаточных функций схемы, например по формулам табл. 6.3.
Основной особенностью анализа таким методом является учет электронных приборов и других многополюсных элементов линейной активной цепи (транзистор, операционный усилитель, гиратор и т. д.) при составлении ее матрицы проводимостей. Электронные приборы, как и любые многополюсные элементы, можно представить эквивалентными схемами с зависимыми источниками или матрицей параметров. В первом случае нужно знать правила учета зависимых источников, а во втором — матрицы параметров.
Учет зависимых источников при составлении матрицы проводимостей электронной схемы рассмотрим на примере транзисторного усилителя ( рис. 12.5,а), эквивалентная схема которого приведена на рис. 12.5,6. Для этого вначале выразим значение управляющего тока зависимого источника через узловые напряжения:
Здесь -управляющий параметр, a и (— ,) — управляющие узловые напряжения.
Наличие зависимых источников в схеме при записи уравнений методом узловых напряжений окажет влияние, очевидно, лишь на
узловые токи (правую часть уравнений). Действительно, для рассматриваемой схемы с учетом формулы (12.1) получим
Здесь
матрица узловых проводимостей электронной схемы, составленная без учета зависимых источников;
—матрица узловых токов, определяемых независимыми источниками;
— матрица узловых токов, определяемых зависимымиисточниками.
Выражение (12.2) можно записать иначе, перенося матрицу IIJ'1 в левую часть и приводя подобные члены:
матрица проводимвстей схемы, учитывающая наличие зависимых источников.
Таким образом, получив матрицу (12.5), можем сформулировать особенности учета зависимых источников и подметить закономерность, по которой их управляющие параметры входят в матрицу проводимостей схемы.
Перед составлением матрицы проводимостей необходимо все токи и напряжения, управляющие зависимыми источниками, выразить через узловые напряжения. Учет управляющих параметров преобразованных таким образом источников осуществляется их вписыванием в матрицу проводимостей схемы, составленной без учета зависимых источников. Управляющий параметр каждого зависимого источника вписывается в эту матрицу на пересечении строк, номера которых соответствуют номерам узлов, связанных с данным источником, и столбцов, номера которых соответствуют номерам узловых напряжений, управляющих этим источником, При этом необходимо придерживаться следующего правила зна«; ков. На пересечении q-йстроки и р-го столбца управляющий параметр следует вписать со знаком «плюс», если зависимый источник по отношению к q-муузлу и его управляющий ток (напряжение) по отношению к р-му узлу направлены одинаково, и со знаком «минус» в обратном случае.
Учет матрицы параметров электронного прибора связан с использованием понятия неопределенной матрицы, Познакомимся] с этим понятием на примере транзистора.
Известно представление транзистора как четырехполюсника тремя способами (см. рис. 12.1): по схеме с общим эмиттером (ОЭ), с общей базой (ОБ) и с общим коллектором (ОК). В каждой из этих схем включения транзистор, как и любой четырехполюсник, можно описать системой уравнений, например, в Y-параметрах:
в схеме с ОЭ (см. рис. 12.1,а):
в схеме с ОБ (см. рис. 12.1, б):
в схеме с ОК (см. рис. 12.1, в):
Здесь , , — матрицы У-параметров транзистора в схеме с ОЭ, ОБ и ОК соответственно. Все параметры можно измерить с помощью специальных приборов или получить из справочников.
Эти матрицы характеризуют транзистор в конкретной схеме включения и отличаются.одна от другой. Тем не менее между ними существует вполне определенная связь, так как они характеризуют один и тот же транзистор. Установим эту связь. Для этого рассмотрим транзистор, схема включения которого не определена (рис. 12.6).
В этом случае
Учитывая эти соотношения, с помощью выражения (12.6) найдем:
или в матричной форме:
Здесь
неопределенная, или плавающая, матрица транзистора, выраженная через его Y-параметры в схеме с ОЭ.
Аналогично можно выразить неопределенную матрицу и через Y-параметры транзистора в любой из схем включения.
Таким же образом можно получить неопределенную матрицу электронной лампы и любого другого четырехполюсника.
Неопределенная матрица характеризуется рядом интересных свойств:
1. Сумма элементов в каждом ее столбце тождественно равна Нулю:
В справедливости этого можно убедиться, сложив все три уравнения в системе (12.11) и приравняв на основании первого закона Кирхгофа сумму токов к нулю.
2. Сумма элементов в каждой строке тождественно равна нулю:
Действительно, система уравнений (12.11) справедлива при любых значениях , и , в том числе и при Складывая в этом случае все три уравнения в системе (12.11) и приравнивая сумму токов к нулю, убеждаемся, что полученное равенство выполняется, если каждая из сумм (12.14) равна нулю,
3. Определитель неопределенной матрицы равен нулю. ГакуЮ матрицу называют особенной. Если четырехполюсник невзаимный, его неопределенная матрица несимметрична.
Если в рассматриваемой схеме (см. рис. 12.6) k- йузел объединить с базисным, то соответствующее узловое напряжение становится равным нулю: , а ток не представляет интереса. Этому случаю соответствует вычеркивание k -го столбца и k -й строки в неопределенной матрице ( 12.12), в результате чего она становится неособенной.
Неособенная матрица, полученная из особенной вычеркиванием строки и столбца, называется укороченной или канонической. Обратный переход от укороченной к особенной матрице осуществляется дополнением укороченной матрицы k-и строкой и k-u столбцом так, чтобы суммы элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы оказались равными нулю.
Вычеркивая в неопределенной матрице транзистора 3-й столбец и 3-ю строку, 1-й столбец и 1-ю строку или 2-й столбец и 2-ю строку, получим его матрицы Y-параметров соответственно в схемах с ОЭ, ОБ или ОК. Такой прием позволяет, в частности, легко пересчитать матрицу параметров транзистора в одной из схем включения в матрицы его параметров при включении по другим схемам,
Пример 12.2.
Извесгны параметры транзистора П14, измеренные на низких частотах
в схеме с ОЭ: =10-3 См; =-10-6 См; =30·10-3 cm; =25·10-6 См. Найти его Y-параметры всхеме с ОБ.
Решение.
1. Дополняем матрицу Y-параметров транзистора 3-м столбцом и -з-и строкой так, чтобы суммы элементов в каждой строке и каждом столбце оказались равными нулю:
2. Вычеркивая в полученной неопределенной матрице 1-й ст о лбец и 1-ю строку, получаем матрицу
Y-параметров в схеме с ОБ:
Каждому электроду электронного прибора в неопределенной матрице соответствует строка и столбец.
При перестановке местами узлов многополюсника в его неопределенной матрице меняются местами соответствующие столбцы и строки.
Составление матрицы проводимостей электронной схемы при наличии неопределенных матриц электронных приборов осуществляется в два этапа. Сначала записывается матрица проводимостей пассивной части схемы, а затем учитываются электронные приборы с помощью их неопределенных матриц.
Пусть транзистор (см. рис. 1 2. 6) с неопределенной матрицей (1 2. 12) включен в схему так, что его электроды 1, 2 и 3 связаны соответственно с узлами р, q и r схемы. Тогда на его электродах будут действовать узловые напряжения (рис. 1 2. 7, α)
(12.15)
и протекать токи , , , определяемые уравнениями (1 2. 11).
Такое соединение транзистора эквивалентно подключению к указанным узлам источников тока , и (рис. 12.7,6). Наличие этих источников при записи уравнений цепи методом узловых напряжений окажет влияние, очевидно, лишь на правые части уравнений ρ-, q- и r -ro узлов, т. е. на их узловые токи. При этом токи , и войдут в правые части этих уравнений со знаком «минус», так как они направлены от узлов (см. рис. 12.7,6). Действительно, для рассматриваемой схемы (см. рис. 12.7) с учетом выражений (12.11) и (12.15) получим
Здесь
матрица узловых проводимостей пассивной части схемы;
— матрица узловых напряжений;
— матрица узловых токов, составленная без учета электронных приборов;
—матрица, учитывающая влияние электронных приборов на узловые токи схемы.
Выражение (12.16) можно записать иначе, перенося матрицу в левую часть и приводя в ней подобные члены. Такой перенос эквивалентен изменению коэффициентов при Ùp, Ùq и ÙT в левой части уравнений. Действительно, в результате переноса получим
. (12.18)
где
матрица проводимостей электронной схемы.
Таким образом, чтобы учесть включение транзистора или другого электронного прибора, подключенного к узлам р, q, r, нужно в матрицу узловых проводимостей пассивной части схемы на пересечении строк и столбцов с номерами р, q и r вписать элементы его неопределенной матрицы проводимостей. Аналогично учитываются все электронные приборы, входящие в состав схемы.
Чтобы установить, в какие клетки матрицы узловых про-водимостей пассивной части схемы нужно вписать элементы неопределенной матрицы электронного прибора, в последней нужно обозначить строки и столбцы номерами узлов схемы, к которым подключены его электроды.
Пример 12..3.
Найти передаточную функцию по напряжению транзисторного усилителя (рис. 12.8), если известны неопределенные матрицы транзисторов. Решение.
1. Составляем матрицу узловых проводимостей пассивной части схемы, т.е. без учета транзисторов:
где
2. Строки и столбцы неопределенных матриц транзисторов обозначим в соответствии с номерами узлов, к которым они подключены:
Строки и столбцы, соответствующие базисному узлу, вычеркиваются. (В случае следует вычеркнуть строку и столбец, соответствующие нулю.)
З. Вписывая элементы неопределенных матриц транзисторов и в соответствующие клетки матрицы . получаем матрицу проводимостей усилителя:
4. С помощью матрицы проводимостей усилителя по формулам (табл. 6.3) находим передаточную функцию по напряжению:
где
алгебраические дополнения матрицы ||Y||,