Матричные методы анализа

Матричный анализ электронных схем основан на применении теории четырехполюсников (метод четырехполюсника) и обобщен­ных методов определяющих величин (узловых напряжений, кон­турных токов).

В основе анализа методами теории четырехполюсников лежит представление электронной схемы в виде сложного четырехполюс­ника, который состоит из соединения более простых, параметры которых известны или легко определяются. Исследуя способ со­единения простых четырехполюсников и используя соответствую­щие правила (10.82)-(10.89), находят параметры электронной схемы как сложного четырехполюсника. Затем с помощью най­денных параметров сложного четырехполюсника рассчитывают все необходимые функции и характеристики электронной схемы по формулам табл. 10.3, известным из теории четырехполюсников.

В общем случае электронная схема может быть представлена не одним, а несколькими различными видами соединения простых четырехполюсников. Такие соединения называют неоднородными. Основной особенностью расчета сложных четырехполюсников, представленных неоднородным соединением, является необходи­мость переходов от одной системы параметров к другой, напри­мер с помощью табл. 10.1. Это затрудняет расчеты.

Анализ методом четырехполюсника применим лишь к регуляр­ным соединениям, т. е. при условии выполнения равенства (10.1). Это ограничивает его применение, особенно когда электронную схему вообще нельзя представить регулярным соединением.

В качестве примера рассмотрим схему транзисторного усили­теля (рис. 12.4, α). Ее можно представить соединением трех про­стых четырехполюсников N _1, N₂ и N₃ (рис. 12.4,6), каждый из ко­торых (рис. 12.4, в) характеризуется, например, соответствующей матрицей Y-параметров: , и . Заметим, что четы-

рехполюсники N₂ и N₃ соединены последовательно, образуя более сложный четырехполюсник N ₄, показанный пунктиром. Его параметры можно получить в соответствии с формулой (10.83), суммируя матрицы Z-параметров четырехполюсников N₂ и N₃:

но для этого необходимо предварительно рассчитать эти матрицы с помощью матриц , и формул пересчета (табл. 10.1). Четырехполюсники N ₁и N ₄ соединены параллельно, образуя четырехполюсник N, которым представлен усилитель. Его матрицу Y-параметров можно найти в соответствии с выраже­нием (10.85), суммируя матрицы Y-параметров четырехполюсни­ков N ₁и N ₄

,

но для этого необходимо матрицу предварительно пере­считать в . Получив матрицу У-параметров усилителя, с по­мощью соответствующих формул (табл. 10.3) рассчитываем нуж­ные входные и передаточные функции,

Обобщенные методы определяющих величин лишены недостат­ков, свойственных методу четырехполюсника. Обобщения, харак­терные для них, относятся к методике составления матрицы узло­вых проводимостей и матрицы контурных сопротивлений. Наи­большее распространение для электронных схем получил обобщен­ный метод узловых напряжений. В его основе лежит составление

матрицы узловых проводимостей или просто матрицы проводимостей электронной схемы и дальнейший расчет с ее помощью требуемых входных и передаточных функций схемы, например по формулам табл. 6.3.

Основной особенностью анализа таким методом является учет электронных приборов и других многополюсных элементов линей­ной активной цепи (транзистор, операционный усилитель, гиратор и т. д.) при составлении ее матрицы проводимостей. Электронные приборы, как и любые многополюсные элементы, можно предста­вить эквивалентными схемами с зависимыми источниками или матрицей параметров. В первом случае нужно знать правила учета зависимых источников, а во втором — матрицы параметров.

Учет зависимых источников при составлении матрицы прово­димостей электронной схемы рассмотрим на примере транзистор­ного усилителя ( рис. 12.5,а), эквивалентная схема которого при­ведена на рис. 12.5,6. Для этого вначале выразим значение управ­ляющего тока зависимого источника через узловые напряжения:

Здесь -управляющий параметр, a и (— ,) — управляющие узловые напряжения.

Наличие зависимых источников в схеме при записи уравнений методом узловых напряжений окажет влияние, очевидно, лишь на

узловые токи (правую часть уравнений). Действительно, для рас­сматриваемой схемы с учетом формулы (12.1) получим

Здесь

матрица узловых проводимостей электронной схемы, составлен­ная без учета зависимых источников;

—матрица узловых токов, определяемых независимыми источниками;

— матрица узловых токов, определяемых зависимымиисточниками.

Выражение (12.2) можно записать иначе, перенося матрицу IIJ'1 в левую часть и приводя подобные члены:

матрица проводимвстей схемы, учитывающая наличие зависимых источников.

Таким образом, получив матрицу (12.5), можем сформулиро­вать особенности учета зависимых источников и подметить зако­номерность, по которой их управляющие параметры входят в матрицу проводимостей схемы.

Перед составлением матрицы проводимостей необходимо все токи и напряжения, управляющие зависимыми источниками, выразить через узловые напряжения. Учет управляющих параметров преобразованных таким образом источников осуществляется их вписыванием в матрицу проводимостей схемы, составленной без учета зависимых источников. Управляющий параметр каждого зависимого источника вписывается в эту матрицу на пересечении строк, номера которых соответствуют номерам узлов, связанных с данным источником, и столбцов, номера которых соответствуют номерам узловых напряжений, управляющих этим источником, При этом необходимо придерживаться следующего правила зна«; ков. На пересечении q-йстроки и р-го столбца управляющий пара­метр следует вписать со знаком «плюс», если зависимый источник по отношению к q-муузлу и его управляющий ток (напряжение) по отношению к р-му узлу направлены одинаково, и со знаком «минус» в обратном случае.

Учет матрицы параметров электронного прибора связан с использованием понятия неопределенной матрицы, Познакомимся] с этим понятием на примере транзистора.

Известно представление транзистора как четырехполюсника тремя способами (см. рис. 12.1): по схеме с общим эмитте­ром (ОЭ), с общей базой (ОБ) и с общим коллектором (ОК). В каждой из этих схем включения транзистор, как и любой че­тырехполюсник, можно описать системой уравнений, например, в Y-параметрах:

в схеме с ОЭ (см. рис. 12.1,а):

в схеме с ОБ (см. рис. 12.1, б):

в схеме с ОК (см. рис. 12.1, в):

Здесь , , — матрицы У-параметров транзистора в схеме с ОЭ, ОБ и ОК соответственно. Все параметры можно измерить с помощью специаль­ных приборов или получить из справоч­ников.

Эти матрицы характеризуют транзи­стор в конкретной схеме включения и отличаются.одна от другой. Тем не ме­нее между ними существует вполне опре­деленная связь, так как они характери­зуют один и тот же транзистор. Устано­вим эту связь. Для этого рассмотрим транзистор, схема включения которого не определена (рис. 12.6).

В этом случае

Учитывая эти соотношения, с помощью выражения (12.6) найдем:

или в матричной форме:

Здесь

неопределенная, или плавающая, матрица транзистора, выражен­ная через его Y-параметры в схеме с ОЭ.

Аналогично можно выразить неопределенную матрицу и через Y-параметры транзистора в любой из схем включения.

Таким же образом можно получить неопределенную матрицу электронной лампы и любого другого четырехполюсника.

Неопределенная матрица характеризуется рядом интересных свойств:

1. Сумма элементов в каждом ее столбце тождественно равна Нулю:

В справедливости этого можно убедиться, сложив все три уравнения в системе (12.11) и приравняв на основании первого за­кона Кирхгофа сумму токов к нулю.

2. Сумма элементов в каждой строке тождественно равна нулю:

Действительно, система уравнений (12.11) справедлива при любых значениях , и , в том числе и при Складывая в этом случае все три уравнения в системе (12.11) и приравнивая сумму токов к нулю, убеждаемся, что полученное равенство выполняется, если каждая из сумм (12.14) равна нулю,

3. Определитель неопределенной матрицы равен нулю. ГакуЮ матрицу называют особенной. Если четырехполюсник невзаимный, его неопределенная матрица несимметрична.

Если в рассматриваемой схеме (см. рис. 12.6) k- йузел объеди­нить с базисным, то соответствующее узловое напряжение стано­вится равным нулю: , а ток не представляет интереса. Этому случаю соответствует вычеркивание k -го столбца и k -й строки в неопределенной матрице ( 12.12), в результате чего она становится неособенной.

Неособенная матрица, полученная из особенной вычеркива­нием строки и столбца, называется укороченной или канонической. Обратный переход от укороченной к особенной матрице осуще­ствляется дополнением укороченной матрицы k-и строкой и k-u столбцом так, чтобы суммы элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы оказались равными нулю.

Вычеркивая в неопределенной матрице транзистора 3-й стол­бец и 3-ю строку, 1-й столбец и 1-ю строку или 2-й столбец и 2-ю строку, получим его матрицы Y-параметров соответственно в схемах с ОЭ, ОБ или ОК. Такой прием позволяет, в частности, легко пересчитать матрицу параметров транзистора в одной из схем включения в матрицы его параметров при включении по дру­гим схемам,

Пример 12.2.

Извесгны параметры транзистора П14, измеренные на низких частотах

в схеме с ОЭ: =10^-3 См; =-10^-6 См; =30·10^-3 cm; =25·10^-6 См. Найти его Y-параметры всхеме с ОБ.

Решение.

1. Дополняем матрицу Y-параметров транзистора 3-м столбцом и -з-и стро­кой так, чтобы суммы элементов в каждой строке и каждом столбце оказались равными нулю:

2. Вычеркивая в полученной неопределенной матрице 1-й ст о лбец и 1-ю строку, получаем матрицу

Y-параметров в схеме с ОБ:

Каждому электроду электронного прибора в неопределенной матрице соответствует строка и столбец.

При перестановке местами узлов многополюсника в его неопре­деленной матрице меняются местами соответствующие столбцы и строки.

Составление матрицы проводимостей электронной схемы при наличии неопределенных матриц электронных приборов осуще­ствляется в два этапа. Сначала записывается матрица проводимо­стей пассивной части схемы, а затем учитываются электронные приборы с помощью их неопределенных матриц.

Пусть транзистор (см. рис. 1 2. 6) с неопределенной матри­цей (1 2. 12) включен в схему так, что его электроды 1, 2 и 3 свя­заны соответственно с узлами р, q и r схемы. Тогда на его элек­тродах будут действовать узловые напряжения (рис. 1 2. 7, α)

(12.15)

и протекать токи , , , определяемые уравнениями (1 2. 11).

Такое соединение транзистора эквивалентно подключению к указанным узлам источников тока , и (рис. 12.7,6). Нали­чие этих источников при записи уравнений цепи методом узловых напряжений окажет влияние, очевидно, лишь на правые части уравнений ρ-, q- и r -ro узлов, т. е. на их узловые токи. При этом токи , и войдут в правые части этих уравнений со знаком «минус», так как они направлены от узлов (см. рис. 12.7,6). Дей­ствительно, для рассматриваемой схемы (см. рис. 12.7) с учетом выражений (12.11) и (12.15) получим

Здесь

матрица узловых проводимостей пассивной части схемы;

— матрица узловых напряжений;

— матрица узловых токов, составленная без учета электрон­ных приборов;

—матрица, учитывающая влияние электронных приборов на узловые токи схемы.

Выражение (12.16) можно записать иначе, перенося матрицу в левую часть и приводя в ней подобные члены. Такой пере­нос эквивалентен изменению коэффициентов при Ùp, Ù_q и Ù_T в ле­вой части уравнений. Действительно, в результате переноса по­лучим

. (12.18)

где

матрица проводимостей электронной схемы.

Таким образом, чтобы учесть включение транзистора или дру­гого электронного прибора, подключенного к узлам р, q, r, нужно в матрицу узловых проводимостей пассивной части схемы на пере­сечении строк и столбцов с но­мерами р, q и r вписать эле­менты его неопределенной матрицы проводимостей. Ана­логично учитываются все элек­тронные приборы, входящие в состав схемы.

Чтобы установить, в какие клетки матрицы узловых про-водимостей пассивной части схемы нужно вписать элемен­ты неопределенной матрицы электронного прибора, в по­следней нужно обозначить строки и столбцы номерами узлов схемы, к которым подключены его электроды.

Пример 12..3.

Найти передаточную функцию по напряжению транзисторного усилителя (рис. 12.8), если известны неопределенные матрицы транзисторов. Решение.

1. Составляем матрицу узловых проводимостей пассивной части схемы, т.е. без учета транзисторов:

где

2. Строки и столбцы неопределенных матриц транзисторов обозначим в со­ответствии с номерами узлов, к которым они подключены:

Строки и столбцы, соответствующие базисному узлу, вычеркиваются. (В случае следует вычеркнуть строку и столбец, соответствующие нулю.)

З. Вписывая элементы неопределенных матриц транзисторов и в соответствующие клетки матрицы . получаем матрицу прово­димостей усилителя:

4. С помощью матрицы проводимостей усилителя по формулам (табл. 6.3) находим передаточную функцию по напряжению:

где

алгебраические дополнения матрицы ||Y||,