В радиотехнике, радиолокации, автоматическом управлении и других областях техники основными проблемами являются получение, передача и обработка информации. Носителем информации являются сигналы. Сигнал—это физический процесс, протекающий в системе. Электро- и радиосигналами называются электромагнитные процессы, несущие информацию. Примерами таких сигналов могут служить импульсы различной формы. Обычно различают импульсы постоянного тока и импульсы переменного тока, являющиеся ограниченными отрезками синусоидальных колебаний с заданным законом изменения амплитуды. Первые называются видеоимпульсами, а вторые — радиоимпульсами.
При теоретическом исследовании используют, как правило, математическую модель сигнала. В зависимости от способа описания сигнала она может быть построена по-разному. Важнейшими формами представления сигнала является временное и спектральное представление. В первом случае сигнал описывается как функция времени, во втором — как сумма ортогональных составляющих.
|
|
В основе классического спектрального представления сигнала лежит его разложение по системе синусоидальных функций. Однако известно и используется на практике разложение и по системе других ортогональных функций (функции Бесселя, Хаара, Уолша и др.).,.В общем случае сигналы могут быть представлены в виде суммы ортогональных составляющих бесчисленным количеством способов. Выбор той или иной системы функций в качестве основной определяется удобством решения поставленной практической задачи.
Начало решению задачи разложения периодических сигналов в ряд по синусоидальным функциям было положено в XVIII в. Эйлером и Лагранжем. Эта теория приобрела законченную форму в блестящих работах Фурье по исследованию тепловых потоков (1822 г.). С тех пор многим крупным математикам удалось внести серьезный вклад в развитие спектральной теории. Выдающаяся роль в развитии классических спектральных представлений
применительно к задачам радиотехники и автоматики принадлежит советским ученым Л. И. Мандельштаму, В. А. Котельникову, Г. С. Горелику, С. М. Рытову, A. A. Харкевичу, Я. 3. Цып-кину и др.
Значение ряда Фурье для математики хорошо выразил американский ученый К. Ланцош словами: «Если бы нам предложили выбросить все математические открытия, кроме одного, мы едва ли бы не оставили ряд Фурье. Этот ряд оказал наиболее глубокое влияние на все развитие анализа как в его теоретическом, так и в практическом аспекте». Такая высокая оценка в полной мере применима и к той роли, которую классический спектральный анализ играет в современной теоретической электро- и радиотехнике, радиолокации, автоматике и др.
|
|
Итак, возможны два классических способа представления сигнала: временной и спектральный. Сигнал может быть представлен этими способами в области как вещественных, так и комплексных величин.
Для спектрального представления периодических сигналов применяется разложение в ряд Фурье. Известно, что любая периодическая функция υ(x) с периодом 2π, удовлетворяющая в пределах периода условиям Дирихле, может быть представлена рядом Фурье, т. е. рядом вида
Пусть временной периодический процесс описывается функцией ƒ(t) с произвольным периодом . Вводя новую переменную , приходим к функции периодом ΩT=2π, разложение которой в ряд Фурье делается с помощью выражений (15.1) и (15.2).
Возвращаясь к исходной временной функции ƒ(t), учитываем,
что х = Ωt; dx = Ωdt = ; υ(x)=ƒ (t).
Тогда функция ƒ(t) принимает вид
где
Это разложение можно записать и в несколько иной форме:
где
Таким образом, периодический сигнал можно рассматривать как результат наложения постоянной составляющей и бесконечно большого числа синусоидальных (гармонических) колебаний с частотами Ω1==Ω, Ω2=2Ω, Ω3=3Ω,..., амплитудами С 1, С2, Сз,…
и начальными фазами ψ1, ψ2, ψ2, … (рис. 15.1).
Гармонические колебания с частотами Ω, 2Ω, ЗΩ и т. д. называются соответственно основной или первой, второй, третьей и т. д. гармониками. Постоянная составляющая равна среднему значению колебания за период.
Определив физический смысл коэффициентов Ω n, Сп и ψ n, легко прийти к выводу о возможности полного описания сигнала последовательностью величин, носящей названия спектров: Ω1, Ω2, Ω2,...— спектр частот; , С 1, C2, Сз… — спектр амплитуд; ψ1, ψ2, ψ3,…- спектр фаз. Такое представление сигнала называется спектральным.
Большое применение на практике получили амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры (АЧС и ФЧС), которыми называются совокупности спектральных линий, представляющих перпендикуляры к оси частот, отложенные в точках Ω n = n Ω (n =0, 1, 2,...) так, что их ординаты соответственно равны значениям , С 1, C2, Сз… или ψ1, ψ2, ψ3,… (рис. 15.2), При комплексной форме записи ряда Фурье
комплексные амплитуды вычисляются как
В этом случае шкала частот дополняется отрицательной полуосью: амплитудный и фазовый спектры изображаются парами ор-
динат, соответствующих положительным и отрицательным значениям частот n Ω и — n Ω (рис. 15.3). При этом АЧС становится симметричным относительно оси ординат, а ФЧС — относительно начала отсчета.
Таким образом, в зависимости от принятой формы записи ряда Фурье (тригонометрической или комплексной) получаются спектры двух видов: на положительной полуоси или на обеих полуосях частот.
Временной и спектральный способы представления сигналов равноправны и взаимозаменяемы. Они являются различными формами описания реально существующих процессов. Частота и время
являются дуальными величинами, дуальными могут быть названы и соответствующие им способы описания сигналов.
Методы определения спектров реальных сигналов можно разделить на три группы: аналитические, графоаналитические и экспериментальные. Аналитические методы сводятся к расчету спектров по формулам (15.3) — (15.8). Однако для аналитического описания реальных сигналов не всегда удается подобрать достаточно точную аппроксимирующую функцию ƒ(t). В подобных случаях используют графоаналитические методы, для применения которых необходимо знать лишь дискретные значения сигнала. Решение получается тем точнее, чем больше имеется таких дискретных значений. Экспериментальное определение спектров производится с помощью специальных приборов — анализаторов спектра.
|
|