На k- ом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент при неизвестной в уравнениях с номерами i = k+1,..., m.Затем уравнение, соответствующее выбранному коэффициенту с номером , меняют местами с к -ым уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента . После этой перестановки исключение проводят как в схеме единственного деления. В этом случае все масштабирующие множители по модулю меньше единицы и схема обладает вычислительной устойчивостью.
ПРИМЕР 1.Решение системы методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
Пусть Ax=b, где
A = , b= .
Прямой ход. 1 шаг. Максимальный по модулю элемент 1-го столбца . Переставим 1-ое и 3 - е уравнения местами:
A= , b= .
Вычислим масштабирующие множители 1 шага:
и выполним преобразование матрицы и вектора:
A1= b1= .
2 шаг. Вычислим масштабирующие множители 2 шага:
.
Второй шаг не изменяет матриц: A2=A1, b2= b1.
3 шаг. Максимальный по модулю элемент 3 столбца . Переставим 3 и 4 уравнения местами.
|
|
A2= b2= .
Вычислим масштабирующие множители 3 шага:
и выполним преобразование матрицы и вектора:
A3= b3= .
Обратный ход. Из последнего уравнения находим: . Из третьего
уравнения системы находим . Из второго уравнения находим
. Неизвестное находим из первого уравнения:
Ответ: .
% Решить систему Ax=b методом Гаусса
% Введём матрицу
A = [3,4,-9,5;-15,-12,50,-16;-27,-36,73,8;9,12,-10,-16];
% Введём правую часть
b = [-14; 44; 142; -76];
% Решим систему средствами MATLAB
x = A \ b
>>
x = | -8.0000 |
-2.0000 | |
-2.0000 | |
-0.0000 |