Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU -разложения матрицы A, в результате чего она приводится к виду A= . Если разложение получено, то, как и в методе LU -разложения, решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и . Для нахождения коэффициентов матрицы L неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы A. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:
, i = 2, 3,..., m,
, i = 3, 4,..., m,
...............
i = k+1,..., m.
ПРИМЕР 2. Решение системы методом Холецкого.
Пусть
A= b= .
Находим элементы матрицы L:
Таким образом, разложение матрицы A имеет вид:
Последовательно решаем системы и . Решением 1-ой системы является вектор , а решение 2-ой системы вектор .
Ответ:
% Решить систему Ax=b методом Холецкого
% Введём матрицу
A = [81 -45 45; -45 50 -15; 45 -15 38];
% Введём правую часть
b = [531; -460; 193];
% Найдём разложение Холецкого
R = chol(A);
% R'*R*x = b
% Матрица R легко обратима
y = R' \ b;
x = R \ y;
% Проверим решение
A * x - b
>>
ans = | |