Метод прогонки

Если матрица системы является разреженной, то есть содержит большое число нулевых элементов, то применяют еще одну модификацию метода Гаусса - метод прогонки. Рассмотрим систему уравнений с трехдиагональной матрицей:

Преобразуем первое уравнение системы к виду , где: , . Подставим полученное выражение во второе уравнение системы и преобразуем его к виду: и т.д.

На i -ом шаге уравнение преобразуется к виду: , где , .

На m -ом шаге подстановка в последнее уравнение выражения

дает возможность определить значение :

.

Значения остальных неизвестных находятся по формулам:

, i = m-1, m-2,..., 1.

ПРИМЕР 4. Решение системы методом прогонки.

Прямой ход прогонки. Вычислим прогоночные коэффициенты:

, ,

,

, ,

,

Обратный ход прогонки. Находим значения неизвестных:

, , ,

Ответ:

.