Многочлены Бернштейна

Предположим, что функция задана в отрезке [0,1] в точках , при некотором фиксированном n. В этом случае можно построить многочлен Бернштейна:

Можно доказать, что при многочлены стремятся к функции равномерно по x; кроме того, для любого конкретного целого имеет место предельное соотношение для производных:

Наконец, известно, что если число удовлетворяет неравенству на всем отрезке [0,1], то для любого из этого отрезка выполняется неравенство: .

Это, конечно, позволяет оценивать ошибку, которая возникает при соответствующей интерполяционной замене.

Сказанное выше для случая функции одной переменной можно обобщить на случай двух и более переменных. Мы ограничимся обобщением только на случай двух переменных.

Итак, пусть имеется функция на квадрате

причем реально она задана в узлах решетки

при заранее фиксированных натуральных числах и . Построим по этой информации следующий многочлен от двух переменных:

где - биномиальные коэффициенты. Это - многочлен Бернштейна для заданной функции на заданной решетке. С его помощью так же можно осуществлять интерполяцию, принимая его значение в той или иной точке квадрата за значение самой функции. Можно доказать, что для любой точки квадрата имеет место неравенство:

которое позволяет оценить погрешность интерполяции. (Здесь константы и удовлетворяют в рассматриваемом квадрате неравенствам).

Замечание. Случай одной переменной рассматривался выше на отрезке [0, 1], а случай двух переменных - в единичном квадрате. В действительности, рассмотрения возможны на любом отрезке [ a,b ] и на любом прямоугольнике [ a,b;c,d ]. Для этого в исходной ситуации (т.е. на произвольном отрезке или на произвольном прямоугольнике нужно сделать линейную замену переменных).

Подробнее: пусть функция задана в точках отрезка , где при некотором фиксированном