Оценка погрешности интерполяции

Если функция n +1 раз на отрезке [ a,b ], содержащем узлы интерполяции , i =0,1,... n, то для погрешности интерполяции справедлива оценка:

. Здесь , .

Эта оценка показывает, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции стремится к нулю не медленнее, чем величина, пропорциональная . Этот факт формулируют так: интерполяционный многочлен степени n аппроксимирует функцию с (n +1) порядком точности относительно .

ПРИМЕР 3. Использование остаточного члена интерполяции.

Пусть требуется составить таблицу функции на отрезке [1,10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не меньшей ?

Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции:

.

Так как , то . Тогда . Следовательно, .

В практическом плане формула Ньютона обладает преимуществами перед формулой Лагранжа. Предположим, что в необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел . При использовании формулы Лагранжа это приводит к необходимости вычислять каждое слагаемое заново. Для вычисления достаточно добавить к лишь очередное слагаемое: . Если функция f достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство . Это равенство можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции: _.