2015-05-13
510
Линейные системы и звенья (кроме чистого запаздывания) описываются линейными дифференциальными уравнениями вида:
, (2.7.1)
где Y ¾ выходная величина системы или звена; х ¾ воздействие на систему или звено; n > m.
Важнейшим свойством линейных систем и звеньев является выполнение для них принципа суперпозиции, который формулируется следующим образом. Реакция линейной системы или линейного звена на несколько воздействий равна сумме реакций на отдельные воздействия. Поэтому в правой части выражения (2.7.1) кроме х могут суммироваться и другие воздействия.
Если у системы несколько выходных величин (многомерная система), то она описывается системой уравнений.
В теории автоматического управления принято в уравнениях выходные переменные (величины) располагать в левой части, а входные (воздействия) ¾ в правой части уравнения. Кроме того, принято преобразовывать уравнения так, чтобы коэффициент при самой выходной величине (в нашем случае Y) был равен 1.
Разделив обе части уравнения на аn, получим уравнение в принятом виде:
|
|
|
. (2.7.2)
Коэффициенты Тn ... Т 1 при производных выходной величины Y называют постоянными времени. Они имеют размерность времени. Коэффициенты k 0 ...km при воздействиях и их производных называют коэффициентами передачи.
В автоматике при математическом описании линейных систем и звеньев принято переходить от дифференциальных уравнений к передаточным функциям, что упрощает исследование систем и звеньев.
Передаточной функцией называется отношение изображения Лапласа выходной величины к изображению Лапласа входного воздействия при нулевых начальных условиях.
Частотной передаточной функцией называется отношение изображения Фурье выходной величины к изображению Фурье входного воздействия при нулевых начальных условиях.
Формально для линейных дифференциальных уравнений изображение Лапласа получают заменой в уравнении оператора дифференцирования d/dt на комплексную переменную p=с+j w, а изображение Фурье ¾ заменой оператора дифференцирования на мнимую переменную j w. Часто вместо р комплексную переменную с+j w обозначают буквой S, чтобы отличить ее от оператора дифференцирования р º d/dt. Мы будем обозначать и оператор дифференцирования, и комплексную переменную одной буквой р. Как правило, это не вносит никакой путаницы.
Учитывая вышесказанное, передаточная функция линейной системы или звена в общем случае будет иметь вид:
. (2.7.3)
Полином 
называют характеристическим полиномом системы (звена). Он определяет характер свободного движения системы (звена). Уравнение = 0 называется характеристическим уравнением системы (звена).
|
|
|
Частотная передаточная функция линейной системы или звена в общем случае имеет вид:
(2.7.4)
где U (w)¾ вещественная часть частотной передаточной функции; V( w ) ¾ мнимая часть частотной передаточной функции; А (w) ¾ модуль частотной передаточной функции; j(w) ¾ аргумент частотной передаточной функции.
; (2.7.5)
(2.7.6)
