Доказательство. Пусть и - обратные матрицы для А, тогда

Пусть и - обратные матрицы для А, тогда

Умножим слева на последнее выражение, получим

,

Так как А=Е, то - =0 или =

Алгоритм построения обратной матрицы:

1. Найдем Δ - определитель матрицы А. Если Δ 0, то А^-1 существует, в противном случае обратная матрица не существует

2. Найдем все алгебраические дополнения элементов матрицы А, то есть: А_ij=

3. Запишем обратную матрицу:

(Обратите внимание, что матрица из алгебраических дополнений транспонирована).

Упражнения. Покажите, что:

1. А·А^-1=Е и А^-1·А=Е

2. (А^-1)^-1=А

3. (А·В)^-1=В^-1·А^-1

Пример 10. Найти матрицу, обратную для матрицы .

Решение. Найдем определитель матрицы А:

определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует Найдем все алгебраические дополнения:

; ; ;

; ; ;

Итак, обратная матрица имеет вид: