Методы решение систем

Ответ на вопрос о совместности неоднородной системы дает теорема Кронекера-Капелли:

Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть:

rang A = rang .

Рассмотрим систему, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т=п.

АХ=В,

где А=(а_ij) - квадратная матрица порядка n. При решении такой системы возможны два случая:

1) Матрица А - не вырождена, ее определитель .

В этом случае существует обратная матрица А^-1. Уравнение АХ=В умножим слева на А^-1, получим:

А^-1AX= А^-1B,

так как А^-1А = Е, то решение системы найдено

X= А^-1•B.

Итак, система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратной матрицы по формуле:

Отсюда легко получаются известные формулы Крамера:

или

,

где - определитель матрицы А, у которой i-ый столбец заменен столбцом свободных членов.

Пример 13. Решить систему с помощью обратной матрицы:

.