Внутренняя геометрия поверхностей

Определение. Раздел геометрии, в котором изучаются свойства поверхности и фигур на ней, определяемые первой квадратичной формой, называется внутренней геометрией поверхности.

Основными понятиями, относящимися к внутренней геометрии, являются длина кривой, углы между кривыми на поверхности, площадь области на поверхности, гауссова кривизна. Действительно, нами ранее получены формулы для вычисления этих величин:

s ( АВ) = ,

cos q = ,

S = .

Гауссом была получена замечательная формула, выражающая гауссову кривизну поверхности только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные:

К = =

= .

Внутренняя геометрия поверхности - это планиметрия поверхности. Занимаясь ею, рассматривают поверхность саму по себе, отвлекаясь от окружающего пространства.

Из теоремы Гаусса следует, что тип точки на поверхности не изменяется при изгибании, т.е. принадлежит внутренней геометрии поверхности. Поэтому изгибанием нельзя, например, эллиптическую точку перевести в параболическую или гиперболическую.

Основы внутренней геометрии поверхностей были созданы великим немецким математиком Карлом Гауссом (1777 -1855).