И гауссова кривизны поверхности

Пусть F – регулярная поверхность класса С² и = - ее векторная параметризация, заданная на Q. Пусть точка О Î F. Рассмотрим в точке О касательную плоскость p и введем прямоугольную декартовую систему координат Охуz - такую, чтобы оси Ох и Оу лежали в плоскости p, а ось Оz была направлена по нормали

(u,v) = .

Как было доказано (см. §2 теорема 2), в этой системе координат поверхность F может быть задана явным уравнением вида

или в параметрическом виде:

причем функция к -регулярная, к ≥ 2, и в точке О имеем:

Разлагая функцию по формуле Тейлора в точке О, получим:

= +x , (1)

где .

Обозначим

= (2)

и назовем поверхность F₀, заданную функцией , соприкасающимся параболоидом поверхности F в точке О.

Нетрудно показать, что все первые и вторые производные функций и в точке (0, 0) совпадают. Поскольку коэффициенты первой и второй квадратичных форм выражаются только через первые и вторые производные рассматриваемых функций, то в точке О у поверхности F и её соприкасающегося параболоида F₀ совпадают первая и вторая квадратичные формы, а значит, и все те геометрические характеристики, которые через них выражаются. В частности, у поверхности F и её соприкасающегося параболоида F₀ в точке О одни и те же нормальные кривизны по одинаковым направлениям.

Из курса аналитической геометрии известно, что поворотом осей координат Ох и Оу в плоскости Оху уравнение соприкасающегося параболоида можно привести к каноническому виду:

Z₀ = . (3)

Определение 1. Направления в точке О, соответствующие координатным осям Ох и Оу, когда уравнение соприкасающегося параболоида имеет канонический вид (3), называются главными направлениями поверхности F в точке О.

Определение 2. Нормальные кривизны поверхности F в точке О, вычисленные в главных направлениях, называются главными нормальными кривизнами поверхности F в точке О, а нормальные сечения в этих направлениях называются главными нормальными сечениями.

Выясним геометрический смысл коэффициентов к₁ и к₂ в уравнении (3). Для этого вычислим нормальные кривизны соприкасающегося параболоида в точке O в направлении новых осей координат.

Ранее мы нашли коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхности = :

Е = 1 + , F = × , G = 1 + ,

L = M = N = .

Так как

= k₁x, = k₂y, = k₁, = 0, = k₂,

то находим, при условии, что х = 0 и у = 0:

I = dx² + dy ²(4)

II= k₁ dx² + k₂dy². (5)

Напомним, что в точке О первая и вторая квадратичные формы соприкасающегося параболоида и самой поверхности совпадают.

Находим нормальную кривизну соприкасающегося параболоида и поверхности в точке О в направлениях осей координат из формулы:

k₀ = = .

Нормальная кривизна в направлении оси х, так как имеем отношение (dx: 0) равна k₁, а в направлении оси у имеем отношение (0: dy), и нормальная кривизна равна k₂.

Таким образом, коэффициенты k₁ и k ₂ являются главными нормальными кривизнами поверхности F в точке О.

Определение 3. Числа H = и K = k₁k₂ называют, соответственно, средней и гауссовой кривизной поверхности F в точке О.

Теорема. Главные нормальные кривизны поверхности F в точке О с точностью до знака совпадают со значениями кривизны кривых главных нормальных сечений.

Доказательство. Пусть g₁, g₂- кривые главных нормальных сечений. Тогда

g₁: , что равносильно системе