Изометричные поверхности

Определение 1. Две поверхности F₁и F₂ называются изометричными, если между их точками может быть установлено такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие кривые на поверхностях F₁и F₂ имеют одинаковые длины.

Про изометричные поверхности говорят, что одна из них получена изгибанием другой. Таким образом, изгибание поверхности – это деформация, при которой не изменяются длины кривых на поверхности.

Следующие рисунки показывают изгибание плоскости в двугранный угол, а далее в параболический цилиндр и изгибание трёхгранного угла в коническую поверхность, которая имеет такую же развёртку в плоский угол, что и данный трёхгранный угол.

Теорема 1. Пусть поверхности F и F определены регулярными векторными функциями и , для которых порядок регулярности к ≥ 1, с одной и той же областью определения Q. Если коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей F и F в области Q равны, то есть для всех

Е = Е¢ , F = F¢ , G = G¢ , (1)

то поверхности F и F¢ изометричны.

Доказательство. Будем считать соответствующими точками поверхностей F и F точки М и , имеющие одни и те же координаты .

Пусть гладкая кривая g на F задаётся уравнениями:

t Î ().

Тогда соответствующая ей кривая g¢ на F задаётся теми же уравнениями. Поэтому, в силу равенств (1)

s (g) = =

= = s (g¢),

откуда и следует изометричность поверхностей F и F¢.

Теорема 2. Пусть поверхности F и F определены регулярными векторными функциями и , для которых порядок регулярности к ≥ 1 с одной и той же областью определения Q. Тогда если их точки, имеющие одинаковые внутренние координаты , соответствуют друг другу по изометрии, то коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей F и F равны.

Доказательство. Нам надо доказать, что

Е = Е¢ , F = F¢ , G = G¢ .

Рассмотрим три пары соответственных кривых, заданных уравнениями:

g ÎF и g¢Î F¢: tÎ() Þ , .