Теорема Гаусса – Бонне

Эта теорема является одним из важных утверждений внутренней геометрии. Для регулярной замкнутой кривой g, ограничивающей на регулярной поверхности F область Q, гомеоморфную кругу, теорема Гаусса - Бонне выражается равенством:

k_g ds = 2p − K d s, (1)

где ds – элемент дуги кривой g, а ds - элемент площади области Q, k_g - геодезическая кривизна кривой g, К - гауссова кривизна поверхности F.

Для кусочно - регулярной кривой g равенство (1) допускает следующее обобщение. Пусть g состоит из конечного числа регулярных дуг g₁,…, g _m. Через a_i обозначим величину угла между соседними дугами g_i и g_i+1, измеренного со стороны области Q.

Тогда справедливо следующее равенство:

k_g ds + = 2p − K d s.

Отметим ряд следствий теоремы Гаусса - Бонне.

1. Если все дуги g_I являются геодезическими линиями, то

= 2p − K d s.

2. Для геодезического треугольника с углами a, b, g формула имеет вид:

a + b + g − p = K d s.

Таким образом, если на поверхности всюду К > 0, то сумма углов треугольника больше p. Если на поверхности всюду К < 0, то сумма углов треугольника меньше p. Если на поверхности всюду К = 0, то сумма углов треугольника равна p.

3. Если F - замкнутая регулярная поверхность, то ее можно триангулировать на геодезические треугольники Т_{1, …,} Т_n. Для каждого треугольника Т_i напишем предыдущее равенство

a_i + b_i + g_i − p =

и сложим все эти равенства:

− p n = .

= 2p е,

где е - число вершин триангуляции.

Число к ребер выбранной триангуляции связано с числом n всех треугольников триангуляции равенством

2к = 3n,

так как каждая сторона является общей для двух треугольников.

Поэтому

(a_i + b_i + g_i) − p n = 2p е − p n =

=p (2e − n) =p (2e – 2k + 2n) = 2 p c(F),

где c(F) – эйлерова характеристика поверхности F.

Следовательно,

2 p c(F) = .

Последнее равенство показывает, что интегральная кривизна замкнутой поверхности является ее топологическим инвариантом, так как зависит только от эйлеровой характеристики поверхности.