Моменты инерции некоторых твердых тел

Тело	Положение оси вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиуса R	То же
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Теорема Штейнера: Момент инерции тела Jz относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями (теорема Штейнера):

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z его кинетическая энергия равна половине произведения момента инерции относительно оси вращения на квадрат угловой скорости:

Момент инерции – мера инертности тела при вращательном движении.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии и определяется выражением, где Mz – момент сил относительно оси вращения z.

.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z (аналог второго закона Ньютона) имеет вид:

где Lz – момент импульса твердого тела относительно оси z.
В замкнутой механической системе момент внешних сил относительно неподвижной оси M z = 0 и , откуда Lz = const – закон сохранения момента импульса. Он является следствием изотропности пространства: инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета.

Вопросы для самоконтроля и повторения:

1. Что называется моментом инерции тела? Какова роль момента инерции во вращательном движении?

2. От чего зависит момент инерции тела?

3. Что называется моментом силы относительно неподвижной оси?

4. Что такое момент импульса твердого тела? Как определяется направление момента импульса?

5. Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси? Как определяется работа при вращении тела?

6. Сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

7. Сформулируйте закон сохранения момента импульса. В каких системах он выполняется?

8. Сопоставьте основные величины и уравнения динамики поступательного и вращательного движений.

Заполните таблицу:

Физическая величина	Обозначение	Тип величины	Ед. измерения	Формула
1. Момент силы
2. Плечо силы				---------
3. Кинетическая энергия вращающегося тела
5. Момент инерции: а) однородного цилиндра б) однородного шара
5. Момент импульса тела
6. Угловое ускорение
7. Основное уравнение вращательного движения	_______	---------------	-----------

Решите задачи:

1. Почему, перед тем как метнуть диск, метатель совершает вместе с диском вращение?

2. Шар радиусом 10 см и массой 5 кг вращается вокруг оси симметрии по закону , где В =2 рад/с², С =-0,5 рад/с³. Определить момент сил относительно оси вращения для момента времени t = 3 c.

3. Полый тонкостенный цилиндр массой 0,3 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену 1,2 м/с, после удара 1 м/с. Определить выделившееся при ударе количество теплоты.

4. Сплошной однородный шар радиусом 8 см и массой 3 кг катится без скольжения с угловой скоростью 1,2 рад/с. Найдите его момент импульса L, а также полную кинетическую энергию тела.

Задания для самостоятельной работы:

1. На тело с моментом инерции J действует вращающий момент М. С каким угловым ускорением вращается тело?

Вариант

М, Н·м

L, кг·м2

2. Фигурист за некоторое время уменьшил частоту своего вращения от ν₁ до ν₂. Его момент инерции равен J. Рассчитайте угловое ускорение ε фигуриста, тормозящий момент силы М, работу торможения А.

Вариант

н1, Гц

н2, Гц

0,5

I, кг·м2

t, c

3. Сплошной однородный шар радиусом R и массой m катится без скольжения с угловой скоростью w. Найти его момент импульса L, а также полную кинетическую энергию тела.

Вариант

R, см

w, рад/с

m, г