Главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Вычислим координаты главного момента сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Ось Oz совместим с осью вращения, а оси Ох и Оу скрепим с вращающимся телом, тогда (0,0, ε) и (0,0, ω), r_k(x_k;y_k;z_k) - радиус-вектор рассматриваемой точки т_к. При вращении тела вокруг неподвижной оси Oz ускорение любой точки т_к состоит из нормального ускорения и касательного ускорения , где h_k - расстояние точки k от оси вращения Oz:

;

;

.

Здесь учтено, что h_kcosφ = x_k, h_ksinφ = у_к, х_к и у_к - координаты точки т_к.

Тогда, согласно (6.12), получим,

Здесь J_xz, J_yz - центробежные моменты инерции, J_z - осевой момент инерции.

Таким образом, главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, сводится к паре сил, момент которой равен

где

, ,

Если ось вращения проходит через центр тяжести тела и оси Oxyz являются главными осями, то

, ,

Пример 3. Через блок весом Mg и радиу­сом R перекинута нерастяжимая нить, на конце которой подвешен груз А весом mg. Определить ускорение а груза А, натяжение нити Т и давление на подшипник оси блока.

Решение. Пусть груз А опускается вниз, тогда сила инерции груза вверх: F^и = ma.

Поскольку ось вращения диска является осью симметрии, то J_xz=J_yz = 0. Следовательно, момент от сил инерции, равен и направлен в сторону противоположную вращению диска.

Отбросим опору О, заменим ее действие реакциями подшипника R_x и R_y. Составим уравнения кинетостатики:

, ;

, ;

, .

Подставим в последнее уравнение значения силы инерции F^(u)=ma и момента от сил инерции = (J/R)a, где t = a/R, и решим его относительно ускорения а.

Получим

, .

Тогда из первых двух уравнений (а) определим

,

Для определения натяжения нити разорвем гибкую связь и заменим ее действие натяжением Т. Добавляя внешнюю силу mg и силу инерции F^(и), имеем

-mg+F^(u)+T = 0,

откуда T = mg- F^(и) = m(g - а) = .

Если считать диск сплошным телом, то J_z - —mR², тогда

, , , .

Лекция 16 (Аналитическая механика)

«Связи и их классификация. Обобщенные координаты,

Работа силы на возможном перемещении»

В основу классической механики положены понятия пространства, времени, силы и массы. Она оперирует векторными величинами, векторными уравнениями и их проекциями на координатные оси. Аналитическая механика построена на основных принципах, основанных на сравнении движений. Этот принцип изучает мгновенное состояние движения и возможные отклонения от этого состояния, допускаемые связям в данный момент времени. В аналитической механике широко применяются скалярные меры движении материальных объектов и меры их действия (кинетическая энергия, работа сил и т.д.).

Основы изложения аналитической механики составляют некоторые общие принципы, из которых аналитическим путем получаются дифференциальные законы движения на основе которых изучается движение твердых тел и системы материальных точек.