Лекция 2. Тема:Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела

Тема: Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела

Вопросы: 1) Кинематика вращательного движения.

2) Основной закон динамики вращательного движения.

3) Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

1. Влюбом сложном движении можно выделить два основных вида движения – поступательное и вращательное. Движение поступательное, если любая прямая, проведенная в теле, остается при движении параллельной самой себе. При вращательном движении частицы тела описывают окружности вокруг некоторого общего центра.

Пусть частица вращается вокруг не проходящей через нее оси (рис.2.1).

Рис.2.1

Угловой скоростью называется физическая величина ω, численно равная углу, на который повернулась частица за единицу времени

(2.1)

Мгновенное значение угловой скорости . Размерность [ω]= рад/с. Частица может иметь два направления вращения - по часовой стрелке и против, поэтому угловой скорости также приписывают два направления вдоль оси вращения.

Угловая ω и линейная V скорости связаны между собой. За время Δt частица проходит путь ΔЅ (рис.2.1). ΔЅ = rΔφ, разделим на Δt и получим

V = r ω.

На практике используют такие характеристики вращательного движения как:

частота ν – число оборотов за единицу времени;

период Т – время одного полного оборота.

Соотношения, связывающие угловую скорость и частоту ω = 2πν, угловую скорость и период ω = 2π/Т, часто применяются для решения различных задач.

Угловым ускорением называется физическая величина, численно равная изменению угловой скорости за единицу времени

(2.2)

Для равнопеременного вращательного движения .

Размерность углового ускорения [β]= рад/с².

Вектор углового ускорения также направлен вдоль оси вращения и совпадает по направлению с вектором .

2. Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг проходящей через него оси под действием силы F (рис.2.2). Твердым называется тело, которое не деформируется при движении, то есть расстояния между его частицами не меняются.

Рис.2.2

Мысленно разобьем тело на малые массы m1, m2, m3…mi…., которые можно считать материальными точками (по сравнению с расстоянием ri до оси вращения их размер мал). Применим для каждой частицы второй закон Ньютона: , где fi – сила, действующая на частицу.

Умножим обе части равенства на ri и заменим Vi = ri ω. Получим

Просуммируем полученное равенство по всем частицам тела

(2.3)

Правая часть равенства представляет собой полный момент М внешних сил.

Моментом силы относительно некоторой оси вращения называется произведение силы F на плечо силы d. Плечом силы называется кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от оси вращения до линии действия силы.

Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси вращения называется произведение массы точки на квадрат расстояния ее до оси вращения: I = mr². Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения равен сумме моментов инерции всех частиц тела относительно этой оси вращения.

Проведя замену в уравнении 2.3, получим основной закон динамики вращательного движения твердого тела:

Iβ = M (2.4)

Момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловое ускорение тела.

Момент инерции тела – это мера инертности тела при вращательном движении. У тела может быть множество моментов инерции, так как телу можно задать множество осей вращения.

Моменты инерции некоторых тел относительно оси, проходящей через центр тела перпендикулярно к плоскости диска, кольца или основания цилиндра:

а) кольцо, полый тонкостенный цилиндр I = mR²;

б) диск, сплошной цилиндр I = 1/2mR²;

в) шар I = 2/5mR².

Для определения момента инерции тела относительно оси, не проходящей через тело, можно применить теорему Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния α между осями

I = I0 + mα². (2.5)

3. Моментом импульсаматериальной точки называют произведение импульса материальной точки на ее расстояние до оси вращения

l = mVr.

Момент импульса твердого тела относительно некоторой оси вращения равен сумме моментов импульса всех его частиц относительно этой оси вращения: L = . Вектор момента импульса тела (вращательного момента) совпадает по направлению с вектором угловой скорости .

Основной закон динамики вращательного движения тела можно представить, как ,так как момент инерции от времени не зависит. В замкнутой системе результирующий момент внешних сил отсутствует, значит . Отсюда следует, что Iω = const. Для системы тел замкнутой системы выполняется I1ω1 + I2ω2 + I3ω3 +….= const.

Закон сохранения момента импульса: в замкнутой системе полный вращательный момент входящих в эту систему тел остается постоянным. У свободно вращающегося тела остается постоянной как величина момента импульса, так и направление оси вращения в пространстве. Это используют в гироскопе.