Степенные ряды

Ряд, членами которого являются функции от «x» называются функциональным .

Совокупность значений «x», при которых ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

В частности, функциональный ряд вида: , где , называется степенным рядом.

Доказано, что для любого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке и некоторым радиусом , внутри которого ряд сходится, вне расходится, а на концах интервала сходимости в точках различные степенные ряды ведут себя по-разному.

?

?

расходится

расходится

сходится

R

R

Для отыскания интервала сходимости можно использовать формулу , но только, если среди коэффициентов нет равных нулю. Поэтому для любых степенных рядов интервал сходимости можно находить другим путем, применяя признак Даламбера к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда.

Предлагается следующий план нахождения области сходимости для любого степенного ряда:

1. Применяя признак Даламбера к ряду , находим «l» ()

2. Решая неравенство , находим интервал сходимости, в центре которого обязательно должна быть точка .

3. Исследуем поведение исходного ряда в концевых точках интервала сходимости.

4. Записываем ответ (т.е. указываем область сходимости).

Пример. Найти область сходимости степенного ряда: .

Решение:

1. Составим ряд из модулей членов данного ряда и применим к нему признак Даламбера ; .

.

2. При ряд из модулей (а, значит, и исходный) сходится, т.е. надо решить неравенство:

?

?

-1

расходится

расходится

сходится

3. Исследуем исходный ряд на сходимость в точках и .

При имеем .

Ряд знакочередующийся, применим к нему признак Лейбница.

Точка входит в область сходимости.

При имеем .

Так как ряд – гармонический, , то он расходится, а значит точка в область сходимости не входит.

4. Ответ: область сходимости: .