Лабораторная работа №14. Крутильный маятник

Цель работы – измерение моментов инерции твердых тел при помощи крутильных колебаний.

Лабораторная установка, входящая в состав комплекса «Физические основы механики», состоит из электронного блока (2) для измерения времени движения и числа периодов, установленного на основании (1). На вертикальной колонне (3) закреплены три кронштейна: нижний (4), средний (5) и верхний (6). Между верхним и нижним кронштейнами натянута проволока, удерживающая рамку (10). На среднем кронштейне держится подковообразная стальная плита (11), которая служит основанием фотоэлектрическому датчику (9), электромагниту (8) и шкалой для измерения угла отклонения (12).

Положение электромагнита можно менять. Верхнюю планку рамки можно перемещать и закреплять при помощи винтов и устанавливать в ней грузики различных форм и размеров (7).

Рис. 7. Установка «Крутильный маятник»

Показания миллисекундомера обнуляются при нажатии клавиши «СБРОС», после нажатия клавиши «ПУСК» отключается электромагнит и рамка приходит в движение. После нажатия кнопки «СТОП» время движения маятника измеряется до завершения очередного полного периода колебаний, то есть, до первого нечетного прохождения рамкой через фотодатчик.

Теория эксперимента: момент инерции твердого тела относительно произвольно направленной оси вращения, проходящей через центр масс, с единичным направляющим вектором , имеющим координаты , вычисляется по формуле:

. (1)

Здесь , , - компоненты тензора инерции в главных осях. В симметричных телах главные оси либо совпадают с осями симметрии, либо перпендикулярны плоскостям симметрии. В настоящей работе мы будем рассматривать куб и прямоугольные параллелепипеды. Система координат в главных осях в таких телах будет иметь начало в центе масс тела, а оси будут проходить перпендикулярно основным граням тел.

Для измерения моментов инерции тел будет использоваться метод крутильных колебаний. Твердое тело закрепляется в рамке крутильного маятника и под действием момента упругой силы возникающей в проволоке, рамка совершает крутильные колебания, уравнение которых имеет вид:

, (2)

где – момент инерции маятника с телом, D – постоянная момента упругих сил. Из уравнения (2) можно получить период крутильных колебаний:

. (3)

Момент инерции маятника складывается из момента инерции пустой рамки и момента инерции J закрепленного в ней тела:

. (4)

Очевидно, что период колебаний пустой рамки будет равен

. (5)

Из уравнений (3) и (5) с учетом (4) легко исключить неизвестную D, тогда:

. (6)

В формуле (6) осталась одна неизвестная величина – это момент инерции рамки . Его можно найти, если измерить период колебаний рамки с эталонным телом , момент инерции которого заранее известен:

. (7)

В качестве такого тела мы будем применять однородный куб. Его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр масс равен:

, (8)

где m – масса, а – ребро куба. Из соотношений (6) и (8) получим формулу для расчета момента инерции тела, закрепленного в рамке:

. (9)

Как следует из формулы (1), момент инерции твердого тела зависит от ориентации оси вращения относительно его главных осей. Очевидно, что и период колебаний рамки с телом будет зависеть от ориентации тела по отношению к рамке:

. (10)

– направляющий вектор оси вращения (оси рамки).

Теперь применим формулу (1), а также полученные выше формулы к различным твердым телам. Главные моменты куба равны между собой = = , поэтому при любом направлении оси вращения момент инерции куба относительно этой оси:

. (11)

Периоды крутильных колебаний куба должны совпадать для всех осей вращения, проходящих через его центр масс.

. (12)

В случае симметричного прямоугольного параллелепипеда два главных момента совпадают между собой и не равны третьему:

. (13)

Поэтому периоды колебаний относительно главных осей OX и OY будут равны между собой и отличаются от колебаний вокруг оси OZ:

. (14)

Рис. 8. Симметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения CC ’ – пространственная диагональ. Диагонали, параллельные граням: AA ’ и BB ’.

На рисунке 8 показан симметричный прямоугольный параллелепипед со сторонами a и c. Найдем его моменты инерции относительно трех показанных на рисунке осей вращения. Относительно оси AA ’:

. (15)

Направляющие косинусы оси вращения найдем из размеров тела:

, . (16)

Из формул (15) и (16) очевидно, что

. (17)

Относительно другой диагонали BB ’:

. (18)

, , . (19)

. (20)

Теперь найдем момент инерции относительно большой диагонали CC ’:

. (21)

, , . (22)

Тогда

. (23)

Рис. 9. Несимметричный прямоугольный параллелепипед. Ось вращения AA ’ – пространственная диагональ. Параллельные граням диагонали – BB ’, CC ’, DD ’.

Теперь запишем выражения, связывающие моменты инерции относительно диагоналей несимметричного прямоугольного параллелепипеда, показанных на рисунке 9 с его размерами и главными моментами.

. (24)