Нормальный закон распределения

Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины , плотность которого имеет вид:

где (3.16)

При этом – математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу , равна:

, где (3.17)

Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а, не превысит по абсолютной величине , равна: .

Следствие («правило трех сигм»). Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ), то практически достоверно, что абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е. .

Другими словами, если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале .

Пример 52. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной случайной величины соответственно равны 10 и 2. Найдите вероятность того, что в результате испытания примет значение, заключенное в интервале (12,14).

Решение. Воспользуемся формулой . Подставив , получим: .
По таблице приложения . Искомая вероятность .

Пример 53. Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм. Найдите вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.

Решение. Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю, поэтому . Положив , находим .