2015-05-13
4727
Решение задач по кинематике необходимо начинать с определения типа движения тела (материальной точки). Подавляющее большинство задач можно отнести к одному из следующих типов простейших движений материальной точки: прямолинейное равномерное или равнопеременное движение, равномерное или равнопеременное вращение. В большинстве задач, в особенности в случае криволинейного движения на плоскости, следует изобразить на рисунке координатные оси, направления скоростей и ускорений. После этого необходимо выписать соответствующие уравнения с учетом условий данной задачи и затем решить полученную систему. Рассмотрим методы решения задач по кинематике на конкретных примерах.
Задача 1. На дорогу от пункта А до пункта Б водитель обычно тратит время 
. Однако в часы пик, чтобы ехать с привычной скоростью, ему приходится выбирать другой маршрут. Этот путь на 
длиннее и 
занимают остановки. Все равно водитель экономит 
. Во сколько раз его скорость в часы пик меньше его обычной скорости?
Решение
Данная задача относится к случаю равномерного движения и решается исходя из определения средней скорости. Пусть расстояние от А до Б равно 
, скорость автомобили в обычное время 
, а в часы пик 
. Тогда, согласно условию, для движения в обычное время 
. Если бы в часы пик автомобиль двигался по прежнему маршруту, то на это было бы затрачено время 
, в действительности же с учетом удлинения маршрута и движения с обычной скоростью на дорогу было затрачено 
. С учетом времени, затраченного на остановки и сэкономленных минут, получаем уравнение
. (1.1.1)
Подставляя в (1.1.1) 
, находим
.
Отсюда получаем для отношения скоростей выражение
.
Подставляя числовые значения, находим
.
Таким образом, скорость автомобиля в часы пик в 1,875 раза меньше его скорости в обычное время.
Задача 2. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору метро за время 
, а по движущемуся вверх эскалатору за время 
. Сможет ли он подняться по эскалатору, движущемуся с той же скоростью вниз? Если сможет, то за какое время?
Решение
Рассматриваемая задача также относится к типу задач на равномерное движение. Отличие от предыдущей заключается в том, что здесь необходимо правильно записывать все скорости в неподвижной системе отсчета (относительность движения). Пусть длина эскалатора равна , а скорости эскалатора относительно земли и человека относительно эскалатора равны соответственно и . Тогда для первых двух случаев можно написать уравнения равномерного движения
, 
. (1.1.2)
Аналогично для движения человека по движущемуся ему навстречу эскалатору
. (1.1.3)
Разрешая (1.1.2) относительно скоростей, находим
, 
. (1.1.4)
Подставляя (1.1.4) в (1.1.3) получаем 
, откуда после несложных алгебраических преобразований следует
.
После подстановки числовых значений находим
.
Полученный ответ означает, что человек сможет подняться по движущемуся ему навстречу эскалатору (об этом свидетельствует положительный знак ответа) и сделает это за 6 минут.
Задача 3. Самолет совершает прямой и обратный рейсы между двумя населенными пунктами. При каком направлении ветра относительно трассы время полета будет максимальным? минимальным?
Решение
 |
|
, собственную скорость самолета (относительно воздуха) и скорость ветра (относительно земли) соответственно через и , а углы, которые образуют векторы 
и 
с вектором 
скорости самолета относительно земли, через 
и 
соответственно (рис. 1.1.1). Проектируя векторы скоростей на направления полета самолета и перпендикулярное к нему, получаем уравнения 
(по ветру), 
(против ветра), 
. (1.1.5)
Общее время движения, очевидно, равно
. (1.1.6)
Исключая из (1.1.6) угол при помощи (1.1.5) и основного тригонометрического тождества, преобразуем (1.1.6) к виду
.
Учитывая элементарные свойства тригонометрических функций, приходим к выводу, что наименьшее время полета будет в случае, когда 
, т.е. когда ветер дует перпендикулярно направлению полета. Если же 
время полета будет максимальным.
Задача 4. Частица пролетает расстояние 
равномерно, а затем тормозит с ускорением 
. При какой начальной скорости частицы время ее движения от вылета до остановки будет наименьшим?
Решение
Пусть начальная скорость частицы равна 
. Тогда время ее равномерного движения 
. Из уравнения скорости равнозамедленного движения 
находим время движения 
. Следовательно, общее время движения
. (1.1.7)
Исследуем функцию 
на экстремум:
.
Так как производная в окрестности критической точки меняет знак с минуса на плюс, полученное значение обеспечивает минимальное время движения частицы от момента вылета до остановки. Подставляя числовые значения, получаем:
.
Задача 5. Тело, свободно падающее с некоторой высоты, первый участок пути проходит за время 
, а такой же последний – за время 
. Определить высоту, с которой падало тело.
Решение
Пусть все время падения тела равно 
, тогда высота падения тела
. (1.1.8)
За время 
тело пролетает расстояние
, (1.1.9)
а за время 
- расстояние
. (1.1.10)
После подстановки (1.1.8) и (1.1.9) в (1.1.10) получаем 
. Решая это уравнение, находим 
, следовательно, высота падения тела
.
Задача 6. Частица движется в положительном направлении оси 
так, что ее скорость изменяется по закону 
, где - положительная постоянная. Имея в виду, что в момент времени 
она находилась в точке 
, найти: зависимость скорости и ускорения частицы от времени; среднюю скорость частицы за время, в течение которого она пройдет 
метров пути.
Решение
Согласно определению скорости 
. Таким образом, закон движения частицы можно найти, интегрируя уравнение 
с начальным условием 
. Разделяя переменные, получаем 
, а после интегрирования 
. Подстановка начального условия дает 
, что позволяет записать закон движения частицы в виде 
. Используя полученный результат, находим зависимости скорости и ускорения от времени:
, 
.
Для ответа на последний вопрос задачи определим время, необходимое частице для преодоления метров пути: 
. Тогда, используя определение средней скорости, получаем
.
Задача 7. Закон движения материальной точки имеет вид 
. Найти уравнение траектории, закон изменения скорости и ускорения от времени.
Решение
Из закона изменения радиус-вектора от времени находим зависимости координат от времени:
, 
. (1.1.11)
Исключая из (1.1.11) время, получаем уравнение траектории:
.
Законы изменения скорости и ускорения от времени находятся по определению:
, 
.
Зависимость от времени модулей этих величин устанавливается по формулам
, 
.
Задача 8. Угол поворота диска радиусом 
изменяется со временем по закону 
. Определить зависимости от времени угловой скорости, углового ускорения и линейной скорости точек, находящихся на краю диска. В какой момент времени угол между векторами скорости и ускорения будет составлять 
?
Решение
Зависимости от времени угловой скорости и углового ускорения находим согласно определениям этих величин:
, 
.
Для получения зависимости от времени линейной скорости используем связь между линейными и угловыми величинами:
.
Вектор скорости в любой момент времени направлен по касательной к поверхности диска, а вектор ускорения все время изменяется по величине и направлению в соответствии с тем, как меняются нормальное и касательное ускорения. Угол между векторами скорости и ускорения будет составлять в тот момент, когда нормальное ускорение станет равным касательному (тогда треугольник ускорений становится равнобедренным).
Нормальное ускорение можно определить по формуле
, (1.1.12)
а касательное – по формуле
. (1.1.13)
Приравнивая правые части (1.1.12) и (1.1.13), получаем
.
Задача 9. С самолета, летящего горизонтально со скоростью на высоте 
, сброшен груз. На какой высоте 
скорость груза будет направлена под углом 
к горизонту? Найти радиус кривизны траектории на данной высоте. Чему равно расстояние между грузом и самолетом в момент падения груза на землю?
Решение
Направим оси и 
горизонтально и вертикально вниз. Угол, который образует вектор скорости с горизонтом, можно определить из треугольника скоростей (рис.1.1.2), из которого следует 
. (1.1.14)
Если пренебречь сопротивлением воздуха, движение по горизонтали будет равномерным со скоростью 
, а по вертикали – равноускоренным со скоростью 
. Так как перемещение в вертикальном направлении за время составит 
, то
.
Подставляя полученные выражения в (1.1.14), находим
,
а поскольку 
, то искомая высота определяется по формуле
.
Для определения радиуса кривизны траектории на данной высоте воспользуемся треугольниками скоростей и ускорений. Из рисунка (1.1.2) видно, что
, 
.
Поскольку полное ускорение груза равно ускорению свободного падения 
, нормальное ускорение по определению 
, а модуль скорости 
, получаем
.
Так как в пренебрежении сопротивлением воздуха горизонтальные скорости груза и самолета будут одинаковы, их перемещение друг относительно друга будет происходить строго по вертикали, и в момент приземления груза расстояние между ним и самолетом составит 
.
Задача 10. Тело брошено под углом к горизонту так, что его радиус-вектор изменяется по закону 
. Ось направлена вдоль поверхности земли, ось - вертикально вверх. Под каким углом к горизонту брошено тело? Какова дальность полета и максимальная высота полета тела? Определить радиус кривизны траектории в ее верхней точке.
Решение
Из уравнения движения тела можно определить законы изменения со временем координат тела:
, 
.
Используя определение скорости, находим уравнения проекций вектора скорости на оси и :
, 
.
В начальный момент времени 
, 
, следовательно, для угла бросания получаем
.
В момент приземления 
; решая квадратное уравнение, находим время полета тела:
.
Очевидно, моменту приземления соответствует знак плюс перед корнем, следовательно, 
. Подставляя полученное значение в уравнение горизонтального движения, находим дальность полета
.
В верхней точке траектории вектор скорости направлен горизонтально, следовательно, 
, откуда находим время подъема тела до верхней точки траектории
.
Подставляя найденное значение в уравнение вертикального движения, находим максимальную высоту подъема тела
.
Так как в верхней точке траектории модуль скорости тела 
, а нормальное ускорение равно полному (которое в любой точке траектории равно ускорению свободного падения ), из определения нормального ускорения находим радиус кривизны траектории в ее верхней точке
.
