Введение. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

3 4 5 6 7 8 9

РОСЖЕЛДОР

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Ростовский государственный университет путей сообщения»

(ФГБОУ ВПО РГУПС)

В.М. Павлов

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В ВОЛНОВОДЕ

Учебно-методическое пособие

для выполнения курсовой работы

Ростов-на-Дону

УДК 621.372.8 (07)+06

Павлов, В.М.

Расчет электромагнитного поля в волноводе: учебно-методическое пособие для выполнения курсовой работы / В.М. Павлов; Рост. гос. ун-т путей сообщения. – Ростов н/Д, 2012. - 33 с.: ил.

Учебно-методическое пособие содержит теоретические сведения и методические указания для выполнения курсовой работы «Расчет электромагнитного поля в волноводе» по дисциплине «Электромагнитные поля и волны».

Предназначено для студентов факультета «Автоматика, телемеханика и связь» РГУПС.

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.И. Юхнов (РГУПС)

путей сообщения, 2012

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..................................................................................................................4

1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ.....................................................................5

1.1 Прямоугольный волновод..........................................................................5

1.2 Поперечно-электрические поля….............................................................8

1.3 Поперечно-магнитные поля.....................................................................12

1.4 Поверхностные токи в волноводе…........................................................13

2 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ................................................................17

3 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ...........................................................................18

4 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.............................................21

Приложение А Некоторые сведения из векторного анализа................................22

Приложение Б Структура электромагнитных полей.............................................24

Приложение В Варианты заданий и исходные данные.........................................26

Приложение Г Образец оформления титульного листа........................................30

Приложение Д Образец оформления задания........................................................31

ВВЕДЕНИЕ

Направляющими системами в электродинамике называются технические устройства, которые принудительно направляют (канализируют) поток энергии переменного электромагнитного поля в нужном направлении (например, от передатчика к антенне или от антенны к приемнику). В начале развития радиотехники, которая за время своего существования продвинулась в направлении возрастания практически используемых частот от Гц до Гц, направляющие системы были представлены открытыми двух -, трех -, четырех - проводными линиями, широко применяемыми и в настоящее время.

При повышении частоты многопроводные линии, будучи открытыми, перестали справляться с возложенной на них задачей: передачей энергии электромагнитного поля с малыми потерями.

На коротких волнах, сравнимых с размерами открытой линии, последние заметную часть энергии начинают излучать в поперечном направлении. С укорочением длины волны приходится уменьшать поперечные размеры линии (только при этом условии она нормально работает как устройство передачи - длинная линия). Поперечное излучение эффективно устраняется введением экрана.

Однако, в высокочастотной радиоэлектронике такие линии не нашли широкого применения: конструкция их сложна, вдобавок трудно поддержать постоянным на большой длине линии соотношение поперечных размеров и форму сечения. Тем не менее, двухпроводные линии и сегодня еще применяются для передачи энергии электромагнитных волн длиной вплоть до метрового диапазона. На дециметровых волнах двухпроводные линии пришлось полностью заменить коаксиальными линиями передачи.

В коаксиальной линии вся энергия передается в пространстве между центральным и внешним проводниками, и потери на излучение в поперечном направлении исключены. Однако по мере приближения к сантиметровым волнам и в коаксиальной линии стали проявляться недостатки: с ростом частоты, то есть с укорочением длины волны, приходится пропорционально уменьшать поперечные размеры линии, при этом выдержать постоянными радиусы внутреннего и внешнего проводников, их соосность становится трудно. Возникающие неизбежные отклонения поперечных размеров нарушают нормальный режим распространения волн в такой линии.

Другой недостаток связан с опасностью электрического пробоя, который возникает в месте высокой концентрации электрического поля у поверхности внутреннего проводника. Плотность тока, протекающего по поверхности внутреннего проводника, больше, чем по поверхности внешнего. Поэтому потери коаксиальной линии, связанные со скин-эффектом, в наибольшей степени вызваны наличием именно внутреннего проводника.

В сантиметровом диапазоне волн на смену коаксиальным линиям пришли полые металлические трубы, в которых внутренний проводник удален.

Полые металлические волноводы перекрывают весь сантиметровый и длинноволновую часть миллиметрового диапазонов.

1 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ

1.1 Прямоугольный волновод

В диапазоне сверхвысоких частот (СВЧ) широко применяются радиоволноводы или просто - волноводы. Волновод представляет собой полую металлическую трубу, в которой при определенных условиях могут распространяться электромагнитные волны.

Для определения поля в полом волноводе в общем случае необходимо решить систему уравнений Максвелла или соответствующих им волновых уравнений. При этом решение ищут в той системе координат, координатные поверхности которой по форме подобны внутренней поверхности волновода, т.е. решение уравнений Максвелла для прямоугольного волновода ищут в прямоугольной системе координат, для круглого - в цилиндрической. Постоянные интегрирования находят исходя из требования, чтобы полученные решения удовлетворяли граничным условиям на внутренней поверхности волновода.

Рассмотрим свойства наиболее распространенного типа волноводов: прямоугольного (рисунок 1) [1,2].

Рис. 1. Прямоугольный волновод

Для исследования структуры электромагнитного поля в волноводе, необходимо решить уравнения Максвелла в комплексной форме

, (1)

в области

; ; (2)

при заданных граничных условиях на проводящих стенках волновода:

при ; ; ; ; . (3)

В выражениях (1) и далее - мнимая единица.

В дальнейших выражениях индекс " " у комплексных амплитуд опустим.

Параметры среды, заполняющей внутреннее пространство волновода , , ,

где – абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, Ф/м;

– относительная диэлектрическая проницаемость среды;

– абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, Ф/м;

– абсолютная магнитная проницаемость среды, Гн/м;

– относительная магнитная проницаемость среды;

– абсолютная магнитная проницаемость вакуума, Гн/м;

– волновое сопротивление среды, Ом.

Будем считать, что волновод имеет большую протяженность, и что источники поля в рассматриваемой области отсутствуют. Нас будут интересовать условия, при которых решение уравнений поля имеет форму бегущей волны, распространяющейся вдоль оси волновода в направлении возрастающих значений . Поэтому положим, что зависимость всех составляющих поля и от координаты имеет вид

, (4)

где - постоянная распространения, которая должна быть найдена в результате решения уравнений Максвелла при граничных условиях (3).

Условие (4) означает, что дифференцирование комплексных амплитуд любой из проекций вектора или по переменной эквивалентно умножению этой проекции на , т.е. оператор .

Из уравнений Максвелла (1) в декартовой системе координат (приложение А) для внутреннего пространства волновода получим:

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

, (9)

. (10)

Проведем преобразование системы уравнений (5) - (10) так, чтобы выразить поперечные составляющие векторов (, , , ) через продольные и . Для этого в уравнения (5) и (6) подставим значения и из уравнений (8) и (9) и после простых преобразований получим:

, (11)

, (12)

где – поперечное волновое число;

, – волновое число;

– скорость волны в среде, заполняющей волновод;

– длина волны в этой среде.

Теперь, подставляя в уравнения (8) и (9) значения , и из уравнений (5) и (6), получим уравнения для составляющих и , выраженных через величины и .

, (13)

. (14)

Таким образом, все составляющие векторов и , касательные к плоскости поперечного сечения (поперечные составляющие), определяются через продольные составляющие и . Уравнения для продольных составляющих легко получить, подставляя значения и из (11) и (12) в уравнение (10), а значения и из (13) и (14) в уравнение (7), тогда

, (15)

. (16)

Это волновые уравнения [3].

Из выражений (11) … (14) следует, что электромагнитное поле в прямоугольном волноводе в общем случае представляет собой сумму двух независимых частных полей, одно из которых называется поперечно-электрическим ( -полем или -полем).

; ; , (17)

; ; , (18)

так как не содержит продольных составляющих электрического поля().

Второе получило название поперечно-магнитное (или -поле, -поле)

; ; , (19)

; ; . (20)

так как не содержит продольных составляющих магнитного поля ().

Перейдем к рассмотрению каждого из этих полей.

1.2 Поперечно-электрические поля

Чтобы определить типы электромагнитных волн в прямоугольном волноводе и проанализировать структуру электромагнитных полей, необходимо решить уравнение (15) при общих граничных условиях (3). Применительно к поперечно-электрическому полю ( или ) граничные условия имеют вид

при ; ;

при ; . (21)

Используя выражения (17), при условии (21) получаем

при ; ;

при ; . (22)

Напомним, что для - или -поля .

Решение волнового уравнения (15) осуществляется методом разделения переменных. Будем искать решение в виде

, (23)

где и - функции, зависящие только от и соответственно. Подставляя последние выражения в уравнение (15), получим,

откуда следует, что

и ; (24)

где ;

и – произвольные постоянные разделения.

Как известно, общее решение уравнений (24), можно представить следующим образом:

Следовательно, в соответствии с (23) проекция будет равна

, (25)

причем постоянная распространения в соответствии с (12) и (24) определяется как

Чтобы найти входящие в выражение для неизвестные величины, воспользуемся граничными условиями (22). Из первого условия вытекает, что

; ; ; .

Из второго условия получается:

; ; ; .

Таким образом,

, (26)

, (27)

. (28)

Здесь введено обозначение .

Подставив значение в равенства (17) и (18), получим выражения для комплексных амплитуд остальных составляющих векторов электромагнитного поля в прямоугольном волноводе для поперечно-электрических волн , , и .

Отметим, что при волны в волноводе существовать не могут, так как в этом случае все компоненты поля, за исключением , обращаются в нуль. Из этого следует, что числа и могут принимать любые значения, равные 0,1,2,3,..., но не могут быть одновременно равными нулю.

Следовательно, в прямоугольном волноводе могут существовать бесчисленное множество типов поперечно-электрических волн, определяемых значениями чисел и . Эти волны обозначаются символами (или ). В общем случае компоненты поля записываются в виде суммы различных типов волн по индексам и .

Вдоль сторон и поперечного сечения волновода распределение поля имеет характер стоячей волны, причем величина определяет число полуволн стоячей волны, укладывающихся вдоль оси на интервале , а - число полуволн стоячей волны вдоль оси на интервале .

Поле будет распространяться вдоль оси в виде бегущей волны, если постоянная распространения равна чисто мнимой величине

, (29)

где - фазовая постоянная (продольное волновое число волновода).

В противном случае поле в волноводе быстро уменьшается с расстоянием вследствие экспоненциального множителя .

Из выражений (27) и (29) следует, что

. (30)

С учетом сказанного продольная составляющая магнитного поля (28) примет вид

. (31)

Из равенства (30) следует, что в прямоугольном волноводе поперечно-электрическая волна () при данных размерах и будет незатухающей, если

Отсюда следует неравенство

или

Величина

(32)

имеет размерность и носит название критической частоты волновода.

Критической частоте соответствует критическая длина волны, которая определяется формулой

, (33)

Таким образом, условие распространения волны по волноводу имеет вид

или . (34)

Фазовая скорость -волны определяется по формуле

, (35)

а скорость переноса энергии равна

. (36)

Длина волны в волноводе определяется выражением

. (37)

Из выражения (37) для длины волны в волноводе следует, что она отличается от длины волны в свободном пространстве и от длины волны в среде, заполняющей волновод.

Из выражения для фазовой скорости (35) видно, что волновод является дисперсной средой, так как фазовая скорость, а, следовательно, и скорость переноса энергии, зависит от частоты колебаний источника радиоволн.

При решении задач теории волноводов, кроме понятия волнового сопротивления среды , заполняющей волновод, пользуются понятием характеристического сопротивления волновода . Характеристическое сопротивление в случае волн определяется в виде

. (38)

Из выражения (32) следует, что при одинаковых размерах поперечного сечения волновода критическая частота растет с увеличением и , т.е. высшие типы поперечно-электрических волк (с большими значениями и ) имеют более высокие критические частоты по сравнению с низшими типами. Следовательно, для передачи электромагнитной энергии при заданной частоте источника колебаний по волноводу с наименьшими поперечными размерами необходимо возбуждать в нем волну с наименьшими значениями и . При размере большем это будет волна (или ). Этот тип волны, называемый основным типом волны в прямоугольном волноводе, находит наибольшее применение на практике.