Порядок проведения эксперимента

При рототабельном ЦКП нормирование масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов производятся так же, как и при ортогональном ЦКП. Несколько отличаются только выражения для расчета оценок коэффициентов регрессионного уравнения и их дисперсий.

Информационная матрица рототабельного ЦКП близка к диагональной

где – вектор-строка размерности , все элементы которого единичные;
– вектор-строка размерности , все элементы которого нулевые; – матрица размером элементов, все элементы которой нулевые; – единичная матрица размером ; – число сочетаний из по ;

Оценки коэффициентов можно рассчитать, используя следующие соотношения:

;

; (3.1)

;

где – значение переменной в -й точке факторного плана;

; ; ; ; .

Однако расчет по формулам (3.1) является громоздким, рациональнее использовать матричное представление, когда расчет оценок регрессионных коэффициентов осуществляется в виде

где – матрица планирования эксперимента, –дисперсионная матрица, – вектор средних значений.

Для оценки дисперсий оценок коэффициентов регрессии можно использовать соотношения:

– для : ;

– для : ; (3.2)

– для : ,

где – диагональный элемент дисперсионной матрицы, соответствующий свободному члену ММ; , , – диагональные элементы дисперсионной матрицы, соответствующие соответственно линейным членам, квадратичным членам и взаимодействиям математической модели; – оценка дисперсии наблюдений, определяемая соотношением (3.4).

При оценке статистической значимости коэффициентов регрессии по критерию Стьюдента необходимо учесть, что условие значимости имеет вид

. (3.3)

Критическое значение критерия находят из таблицы распределения Стьюдента по числу степеней свободы и уровню значимости (прил. 2). Если неравенство выполняется, то гипотеза о значимости коэффициента принимается, в противном случае коэффициент считается незначимым и приравнивается к нулю.

Необходимо помнить, что при рототабельном ЦКП оценки коэффициентов при линейных членах и парных взаимодействиях некоррелированы с оценками остальных коэффициентов, а при квадратичных членах – коррелированы между собой и оценкой свободного члена. То есть вывод о статистической значимости коэффициентов при линейных членах и взаимодействиях можно делать независимо от значений остальных коэффициентов. Исключение любого из квадратичных членов приводит к изменению оценок остальных, а также оценки свободного члена .

Адекватность ММ проверяется по F-критерию Фишера. Его расчетное значение определяется соотношением (1.5)

Если эксперимент повторяется раз в каждой точке плана, то оценку дисперсии ошибок наблюдений можно найти по формуле

, (3.4)

где ; ; ;

– значение зависимой переменной в -й точке плана при -м параллельном опыте;

– число степеней свободы.

Оценка дисперсии неадекватности определяется выражением

где – число степеней свободы; – число незначимых коэффициентов регрессии.

Если , то модель считается адекватной при выбранном уровне значимости , где – доверительная вероятность.

Для записи ММ в реальных физических величинах производят обратный переход от стандартизованного масштаба к натуральному. Это можно сделать, использовав соотношение (2.1). После чего записывают окончательный вид модели.

3.3. Пример расчета рототабельного центрального
композиционного плана

Пусть при трех сериях опытов с помощью рототабельного центрального композиционного эксперимента требуется исследовать влияние производственных факторов ( – опорное напряжение , – ток потребления , – конечная температура нагрева ) на качество производства магнитных дисков. Номинальные значения факторов: В, А, .

Условия проведения опытов сведем в табл. 3.3 и проведем нормализацию масштабов факторов.

Таблица 3.3

Условия проведения опытов при рототабельном ЦКП эксперимента

Характеристика плана	Натуральный масштаб	Нормиро-ванный масштаб
, В	, А	,
Нулевой уровень
Верхний уровень				+1
Нижний уровень				–1
Звездные точки	35,046	21,364	253,64	+1,682
24,954	14,636	186,36	–1, 682

Cоставим МП эксперимента, в соответствии с которой проведем рандомизированные опыты. Полученные результаты запишем в табл. 3.4, где – численные значения исследуемого параметра, – номер точки в факторном пространстве,
– номер параллельного опыта. В эту же таблицу будем записывать и другие получаемые результаты.

Проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки воспроизводимости опытов по критерию Кохрена (2.2) при выбранном уровне значимости вычислим в каждой точке факторного пространства среднее значение

и оценку дисперсии наблюдений исследуемого параметра

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения. Для этого составим матрицу :

Находим дисперсионную матрицу :

Из матрицы видно, что оценки и все коррелированны между собой, о чем говорят соответствующие ненулевые элементы матрицы .

Найдем оценки коэффициентов

Для проверки статистической значимости коэффициентов найдем оценку дисперсии единичного наблюдения:

где ;

– число степеней свободы.

По соотношениям (3.2) найдем оценки дисперсий полученных коэффициентов регрессии:

– для : ;

– для : , ;

– для : , , .

По критерию Стьюдента (3.3) определим статистическую значимость коэффициентов регрессии при . Из табл. 3.4 видно, что статистически незначимым оказался коэффициент при квадратичном члене , который необходимо исключить из математической модели. Поскольку это приводит к изменению оценок коэффициентов , , , то эти оценки и их дисперсии нужно рассчитать заново (исключив квадратный член ):

По критерию Стьюдента вновь определим статистическую значимость коэффициентов регрессии при . На этот раз все коэффициенты оказались статистически значимыми (табл. 3.5).

По критерию Фишера (1.5) проверим адекватность ММ при . При этом оценка дисперсии неадекватности определяется выражением