2015-05-13
306
Определенный интеграл (Римана) позволяет распространить формулу площади прямоугольника на площадь более или менее произвольной плоской геометрической фигуры. В основе понятия определенного интеграла лежит так называемая интегральная сумма, определяемая следующим образом. Пусть задана функция 
, определенная на отрезке 
. Разобъем отрезок произвольным образом на 
частей 
, 
¼, 
(
, 
). В частности, можно разбить на равных частей, тогда длина каждого отрезка разбиения будет равна 
. В общем случае, пусть
.
Возьмем, опять же произвольным образом, внутри каждого из отрезков 
по точке 
. Интегральной суммой функции на по разбиению 
называется число
Если 
, то интегральная сумма есть площадь фигуры, состоящей из прямоугольников со сторонами и , 
. Интуитивно ясно, что, чем меньше максимальная длина отрезков разбиения 
, тем точнее эта фигура из прямоугольников приближает криволинейную трапецию с основаниями 
, 
и “боковыми сторонами” 
, 
. Интеграл от функции по отрезку есть предел 
по всевозможным разбиениям 
, когда 
.
Предел понимается здесь в обычном смысле: число 
называется определенным интегралом от по (обозначается как 
), если для произвольного 
найдется такое 
, что, как только разбиение отрезка удовлетворяет условию 
, интегральная сумма , отвечающая этому разбиению, будет отличаться от не больше, чем на 
: 
.
