2015-05-13
2219
Как правило, при решении задач на закон всемирного тяготения требуется применение как самого закона, так и второго закона Ньютона. Если в задаче требуется вычислить работу силы всемирного тяготения необходимо помнить, что эта сила зависит от расстояния между телами и замена ее на постоянную величину оправдана лишь при движениях, масштаб которых мал по сравнению с этим расстоянием. Рассмотрим конкретные примеры.
Задача 1. Космонавт массой 
находится на поверхности шаровидного астероида радиусом 
и держит в руках камень массой 
. С какой максимальной скоростью 
относительно поверхности астероида космонавт может бросить камень, не рискуя превратиться в спутник астероида? Средняя плотность астероида 
.
Решение
Чтобы определить скорость космонавта сразу после броска воспользуемся законом сохранения импульса
, (1.5.1)
где 
- скорость космонавта относительно астероида сразу после броска.
Очевидно, космонавт должен бросать камень по касательной к поверхности астероида и тогда его скорость после броска не должна превышать первую космическую скорость для данного астероида. Определим первую космическую скорость при помощи второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения
|
|
|
, (1.5.2)
где 
- масса астероида.
Используя формулу связи массы и плотности, а также формулу объема шара, получаем
. (1.5.3)
Подставляя (1.5.3) в (1.5.1), находим
.
Проведем вычисления:
.
Задача 2. Спутник движется по круговой орбите в плоскости экватора в направлении вращения Земли на высоте, равной радиусу Земли. С какой скоростью и в каком направлении должен перемещаться наблюдатель на Земле, чтобы спутник появлялся над ним каждые пять часов?
Решение
Определим предварительно линейную и угловую скорость движения спутника относительно центра Земли при помощи законов Ньютона и всемирного тяготения
,
где 
- масса спутника, 
- масса Земли, 
- высота спутника над поверхностью Земли, 
- радиус Земли.
Угловая скорость связана с линейной соотношением
. (1.5.4)
С учетом и 
из (1.5.4) получаем
.
Угловая скорость вращения Земли 
, где 
- период обращения Земли вокруг своей оси. Так как спутник и Земля вращаются в одну сторону, то угловая скорость спутника (относительно поверхности Земли)
. (1.5.5)
Заметим, что за время 
спутник успеет сделать немногим более одного оборота над фиксированной точкой земной поверхности, так как его угловое перемещение за это время
.
Рассмотрим теперь движение наблюдателя в системе отсчета, жестко связанной с Землей. Если наблюдатель движется со скоростью 
, то за время 
он совершает перемещение 
. Траектория наблюдателя представляет собой дугу окружности радиуса , следовательно, центральный угол, стягивающий эту дугу, равен 
. Для того, чтобы спутник через время вновь оказался над наблюдателем необходимо, чтобы наблюдатель двигался в направлении движения спутника, так как в противном случае их встреча произойдет раньше.
|
|
|
Очевидно, что в момент встречи разность угловых перемещений спутника и наблюдателя должна составить 
, что позволяет с учетом (1.5.5) написать уравнение
. (1.5.6)
Выражая из (1.5.6) скорость наблюдателя, находим 
.
Подставляя числовые значения, получаем ответ
.
Задача 3. Метеорит на очень большом расстоянии от планеты имеет скорость 
. Падая на планету, он приобретает возле ее поверхности скорость . Определить для данной планеты вторую космическую скорость.
Решение
Как известно, второй космической скоростью называется такая скорость, которую нужно сообщить телу на поверхности планеты, чтобы оно удалилось от планеты на бесконечно большое расстояние. Если положить скорость тела на бесконечности равной нулю, то работа силы всемирного тяготения будет равна начальной кинетической энергии тела, т.е.
, (1.5.7)
где 
- вторая космическая скорость.
С другой стороны работу силы всемирного тяготения можно найти, приравняв ее по теореме о кинетической энергии к изменению кинетической энергии метеорита
. (1.5.8)
Из (1.5.7), (1.5.8) следует
,
откуда находим
.
