Пример выполнения задания Д2

Механическая система с одной степенью свободы, состоит из трех абсолютно твердых тел, соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями (рис.2.1): тело 1 движется поступательно по наклонной плоскости под углом α к горизонту, тело 2 вращается вокруг неподвижной оси, а тело 3 катится без скольжения по наклонной плоскости под углом β к горизонту. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы F, параллельной наклонной плоскости. Считая связи идеальными, определить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии угловую скорость вращающегося тела 2 к моменту времени, когда тело 1 переместится на расстояние S по наклонной поверхности.

N₃ 3

S_F

1 P₂ S_C

N₁ F_тр3 C

S N₃ P₃

α β

P₁

Рис.2.1

Дано: m₁ = 4 кг, m₂ = 10 кг, m₃ = 8 кг, R₂ = 20 см, r₂ = 10 см,, R₃ = 16 см

r₂ = 15 см, F = 2 кН, α = 45^о, β = 20^о, s = 50 см.

Определить: w₂- угловую скорость второго тела.

Решение.

Рассмотрим движение неизменяемой механической системы с помощью теоремы об изменении кинетической энергии:

T – T₀ = ∑ A^e_k (2.1)

T₀ = 0, так как в начальный момент система находилась в покое.

Кинетическая энергия системы в данный момент времени равна сумме энергий всех тел системы:

T = T₁ + T₂ + T₃ (2.2)

Запишем формулы для вычисления кинетической энергии каждого тела механической системы, учитывая вид движения (поступательное движение первого, вращательное движение второго и плоско-параллельное движение третьего):

T₁ = m₁V₁²/2; T₂ = I₂w₂²/2; T₃ = m₃V_С²/2 + I_cw₃²/2; (2.3)

Выразим скорости через w₂:

V₁ = w₂R₂; V_С = w₂r₂; w₃ = w₂r₂/R₃ (2.4)

Моменты инерции тел (ступенчатого шкива 2 с учетом его радиуса инерции r₂и однородного цилиндра 3) определим по формулам:

I₂ = m₂r₂²; I₃ = m₃R₃²/2 (2.5)

Подставим формулы (2.4) и (2.5) в (2.3), а затем полученные выражения – в (2.2) и получим окончательно:

T = (2m₁R₂² + 2 m₂r₂² + 3m₃R₃²) w₂²/2 (2.6)

Найдем работы сил, изобразив на рис.2.1 перемещения S, S_F, S_C точек их приложения.

Работа сил тяжести Р₁, P₂ и силы F:

A(P₁) = - P₁S sin α; A(P₂) = P₂S_C sin β; A(F) = FS_F (2.7)

Работы остальных сил равны нулю, так как сила нормальной реакции N₁ перпендикулярна перемещению S, а силы P₂, и N₂, N₃ и F_тр3 приложены в неподвижных точках.

Выразим перемещения точек через заданное S с учетом того, что соотношения между перемещениями точно такие же, как и между соответствующими скоростями.

S_C = S r₂/R₂; S_F = 2S r₂/R₂ (2.8)

Подставим в правую часть теоремы (2.1) значение кинетической энергии (2.6), а в левую часть – выражения работ (2.7), предварительно подставив в них соотношения (2.8). Полученное уравнение имеет вид:

(m₁R₂² + m₂r₂² + 1,5 m₃R₃²) w₂²/2 = [(2F + P₂sin β) r₂/R₂ - P₁ sin α] S (2.9)