2015-05-13
459
Задача 1.1. Дискретная однородная марковская цепь задана следующей матрицей переходов:
| S1 | S2 | S3 | |
| S1 | 0,5 | 0,5 | |
| S2 | |||
| S3 | 0,2 | 0,8 |
Р =
Вектор начального распределения вероятностей р(0)=(0,0,1).
Требуется:
1. построить граф переходов;
2. вычислить р(3) (распределение вероятностей на 3-м шаге);
3. доказать неприводимость цепи и вычислить финальные вероятности р=(р1,р2,р3).
Решение
1. Граф переходов
2. Распределение вероятностей на 3-м шаге вычисляем, используя формулу (1.2): р(1) = р(0) * Р,
или
3. Из графа следует, что цепь неприводима, так что вектор финальных вероятностей р=(р1,р2,р3) существует. Находим его из системы (1.4)
Отбрасывая одно из первых двух уравнений, как лишнее, и решая оставшуюся систему, получим р1=0,167, р2= р3=0,417.
Задача 1.2. Двухразрядный двоичный счетчик в нулевом такте сброшен. Вероятность поступления 1 на его вход в каждом такте одинакова и равна 0,4. Вычислить финальные вероятности состояний.
Решение
1. Граф переходов
2. Вектор начального распределения вероятностей р(0)=(1,0,0,0).
3. Матрица переходов
| 00(p0) | 01(p1) | 10(p2) | 11(p3) | |
| 00(p0) | 0,6 | 0,4 | ||
| 01(p1) | 0,6 | 0,4 | ||
| 10(p2) | 0,6 | 0,4 | ||
| 11(p3) | 0,4 | 0,6 |
4. Финальные вероятности состояний найдем, составив и решив систему (1.6):
Отбрасываем первое уравнение и решаем остальные методом последовательной подстановки:
| 0,4 р0 = 0,4 р1 | p0 = р1 | |
| 0,4 р1 = 0,4 р2 | p1 = р2 | |
| 0,4 р2 = 0,4 р3 | p3 = р2 | |
| 4 р0 = 1 | Р0 = 0,25 | |
| Р0 = р1 = р2 = р3 =0,25 |
Задача 1.3. Вычислить финальные вероятности состояний следующей непрерывной марковской цепи:
| S1 | S2 | S3 | S4 | |
| S1 | ||||
| S2 | ||||
| S3 | ||||
| S4 |
Решение
1. Граф переходов
2. Финальные вероятности (система уравнений Колмогорова):
Отбрасываем уравнение для S3 как самое сложное и решаем остальные методом последовательной подстановки (выражаем все вероятности через р1). Получаем следующее решение:
| р1 = 0,305; р2 = 0,153; | р3 = 0,136; | р4 = 0,406. |
| Проверка: р1+ р2 + р3 + р4 = 1 |
Задача 1.4. ЭВМ отказывает с интенсивностью l раз в час и восстанавливается с интенсивностью m раз в час. Определить финальные вероятности пребывания ЭВМ в работоспособном и неисправном состояниях.
Решение
Пусть S1 – состояние исправности, S2 – состояние отказа.
1. Граф переходов
λ
μ
2. Финальные вероятности (система уравнений Колмогорова).
Отсюда:
; 
.
Домашнее задание:
- решить задачу 1.2 при вероятности поступления 1, равной 0,3;
- решить задачу 1.4 при λ = 3, μ = 6 (час-1).
