Изоэнтропное истечение газа из резервуара через конфузор (сопло)

Рассмотрим процесс изоэнтропного истечения газа из резервуара, в котором поддерживаются постоянными параметры газа р₁, υ₁, Т₁, через сопло в среду с давлением р_о.с.

Из уравнения движения = получаем

.

Выберем большую площадь входного сечения сопла, тогда с₁» 0 и

.

Массовый расход газа через сопло

учитывая, что , т.е.

получим формулу Сен-Венана и Ванцеля

т.к. .

Массовый расход газа через сопло зависит от площади выходного сечения сопла, свойств газа, начальных параметров газа и от давления р₂ .

Если по формуле Сен-Венана и Ванцеля построить зависимость m=f(р₂/р₁)=f(b), то это будет парабола, для которой при b=0 и b=р₂/р₁=1 m=0, а при b=β_кр m=m_max.

β_кр = р_2кр / р₁ – это критическое отношение давлений.

Но сравнение этой зависимости с экспериментальной зависимостью показало, что они совпадают только на участке b_кр < р₂/р₁ < 1, а на участке 0 < р₂/р₁ < b_кр m=m_max=const.

Чтобы найти b_кр, нужно исследовать на максимум формулу Сен-Венана и Ванцеля, т.е. взять производную от выражения в квадратных скобках и приравнять ее к нулю

>

или

,

тогда

Для воздуха при k=1,4 β_кр = 0,528.

При b=b_кр происходит так называемое запирание выходного сечения сопла. Это связано с тем, что в выходном сечении сопла скорость потока достигает скорости звука.

Для воздуха при k=1,4 β_кр = 0,528.

При b=b_кр происходит так называемое запирание выходного сечения сопла. Это связано с тем, что в выходном сечении сопла поток достигает скорости звука.

Критическому отношению давлений соответствует критическое отношение температур и плотностей:

;

Для воздуха при k=1,4 τ_кр = 0,833, ε_кр = 0,546.

Скорость звука, а – это скорость распространения малых возмещений (или слабых волн давления) в упругой среде

, м/с.

Процесс передачи малых возмущений (или слабых волн давления) в упругой среде происходит быстро, практически без теплообмена между частицами и окружающей средой и можно пренебречь также потерями энергии на трение, т.е. этот процесс можно принять изоэнтропным. Подставив в формулу для скорости звука уравнение изоэнтропного процесса в виде р=r^k×const получим

.

Тогда

.

Скорость звука зависит от свойств газа и его термодинамических параметров. Например, для воздуха

t, oC			-100
а, м/с

Скорость потока, равная скорости звука в данном сечении канала, называется критической скоростью а_кр.

Если в выражение для скорости звука подставить выражение для критической темпрературы , то получим

.

Видно, что критическая скорость зависит от свойств газа и параметров газа в резервуаре, которые постоянны.

В газодинамике и термодинамике очень широко используют такие понятия как число Маха и безразмерная или приведенная скорость потока:

- число Маха – это отношение скорости потока к скорости звука

;

- безразмерная (приведенная) скорость – это отношение скорости потока к критической скорости

.

При с=а=а_кр, М=l=1.

При М < 1 – течение дозвуковое;

при М = 1 – течение звуковое;

при 1 < М < 4 ¸5 - течение сверхзвуковое;

при М>4¸5 - течение гиперзвуковое.

Именно из-за достижения в выходном сечении сопла критической скорости газ не может расшириться до давления меньше критического, а массовый расход остается постоянным. Объясняется это следующим образом:

- если скорость истечения меньше скорости звука (с₂<a₂), то падение давления за соплом в виде слабых волн давления передается по потоку внутрь канала с относительной скоростью (а–с) >0, что приводит к перераспределению давления, и в выходном сечении сопла устанавливается давление, равное давлению окружающей среды (р₂=р_о.с);

- если с₂=а_кр, то скорость движения газа и скорость распространения слабых волн давления одинаковы, и эти волны не могут проникнуть к выходному сечению и внутрь сопла против потока, т.к. их относительная скорость (а₂–с_кр)=0. Поэтому, в выходном сечении сопла устанавливается давление, большее давления окружающей среды (р₂>р_о.с), и,несмотря на дальнейшее снижения давления за соплом, скорость истечения остается равной критической скорости (с₂=a_кр=a₂), а массовый расход остается равным максимальному значению m_max. Образуется так называемый звуковой барьер, через который не могут проникнуть к выходному сечению и внутрь сопла изменения внешнего давления.

Таким образом,

- при b_кр<b<1 р₂=р_о.с, с₂<a₂, m<m_max;

- при 0 <b≤b_кр р₂= р_2кр =b_кр р₁>р_о.с, с₂=a_кр=a₂, m=m_max= m_кр;

Определим расход газа при критическом отношении давлений

m_кр

Учитывая, что

и

получаем

где - постоянная, зависящая от рода газа; для воздуха при k=1,4 B=0,685.