Последовательность вычислений

1. Вычисление значения гауссова сближения меридиана ץ _А в исходной точке А по ее прямоугольным и геодезическим координатам для эллипсоида с параметрами элементов Красовского с погрешностью не более 0,001”:

ץ _А={1–[(0,33333–0,00225cos⁴B_x)–(0,2 – 0,067cos²B_x)z²]z²} z sinB_x.,

где В_х ,N_х ,η_х определяют по формулам, приведенным в работе №6;

для контроля - в функции геодезических координат:

ץ _А={1+[(0,33333+0,00674cos²B)+(0,2cos²B–0,0067)ℓ²] ℓ²cos²B} ℓ sinB,

очевидно, что знак ץ _А определяется знаком z или ℓ.

2.Построение схемы треугольника в масштабе 1:100 000 по координатам х_А, у_А исходной точки А, исходной стороне АС и углам треугольника. Снятие со схемы приближенных значений координат вершин В и С до десятых долей километра.

3. Вычисление в первом приближении поправок в секундах в направления углов δ”_АС = - δ”_СА = - 0,00253 у_m (x_С –x_A) и поправок в стороны в метрах ∆S_АС = 0,123 (у_m/100)² S_АС, где (x_С–x_A), у_m и S_АС – в километрах.

4. Вычисление значения дирекционного угла α_АС в первом приближении как α_АС = А_АС - ץ_А + δ_АС.

5. Вычисление поправок δ_i в сферические углы треугольника в первом приближении

δ_А = δ_АС – δ_АВ; δ_В = δ_ВА – δ_ВС; δ_С = δ_СВ – δ_СА.

6. Вычисление значений координат вершин треугольника В и С в первом приближении как

x_B = x_A + ∆х_ВА; у_В = у_А +∆у_ВА; x_С = x_A + ∆х_СА; у_С = у_А +∆у_СА,

где ∆х_ВА = (S_АВ +∆S_АВ)cos α_АВ; ∆х_СА = (S_АС +∆S_АС)cos α_АС;

∆у_ВА = (S_АВ +∆S_АВ)sin α_АВ; ∆у_СА = (S_АС +∆S_АС)sin α_АС.

7. Вычисление во втором приближении поправок в направления углов δ”_ik и поправки ∆S_АС в исходную сторону:

δ”_ik = - f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki /6 – y³_m /3R²_m];

δ”_ki = f_m(∆х_ki)[y_m +∆у_ki /6 + y³_m /3R²_m];

∆S_АС = S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24 R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),

где S_AС , у_m и ∆y_ki выражают в километрах до 0,001 км.

8. Вычисление поправок δ” в углы вершин треугольника, длины исходной стороны на плоскости S_АС и ее дирекционного угла α_АС во втором приближении.

9. Вычисление значений длин сторон S_АВ S_ВС на плоскости во втором приближении по теореме синусов для плоского треугольника.

10. Окончательное вычисление плоских координат вершин В и С треугольника.

Результаты вычислений:

1. Сближение меридиановץ _А :

по прямоугольным координатам ץ _А = - 0,040 567 790 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

по геодезическим координатам ץ _А = - 0,040 567 788 рад = - 2⁰ 19′ 27,707”

2. Значения длин сторон треугольника в первом приближении

Вершина Угол Синус Сторона:

А 62⁰ 12′ 45” 0,88468 а = BC = 52055 м

В 50 20 20 0,76983 b = AC = 45297

С 67 27 00 0,92354 c = AB = 54341

3. Построение схемы треугольника и снятие координат

вершин В и С:

Х_В = 5 767,0 км; Х_С = 5 714,4 км;

У_В = - 166,3. У_С = - 161,9.

4.Вычисление поправок δ”_ik и ∆S _ik в метрах в первом приближении

δ”_ik = - δ”_ki = - 0,00253 у_m (x_k –x_i);

(∆S _ik)_м = 0,123 (у _m/100)²S_ik,

где (x_k –x_i), у_m и S_ik – в километрах.

Обозначение	А С	А В	С В
хА, км	5 728,2	5 728,2	5 714,4
хС, км	5 714,4	5 767,0	5 767,0
∆.ХСА = ХС - ХА, км	-13,8	+ 38,8	+ 52,6
Уm, км	- 183,5	- 185,7	- 164,1
УА, км	- 205,1	- 205,1	- 161,9
УС, км	- 161,9	- 166,3	- 166,3
У2m	33 672	34 484	26 929
SАС, км
δ”ik	- 6”	+ 18”	+ 22”
δ”ki	+6	- 18	- 22
∆Sik, м

5. Вычисление дирекционного угла α_АС исходной стороны АС в первом приближении:

α_АС = А_АС – γ_А + δ_АС = 107⁰ 30′ 00,000” – (-2⁰ 19′ 27,707”) +(-6”)= 109⁰ 49′ 22”

6. Вычисление поправок δ_i в углы треугольника в первом приближении:

δ_А = δ_АС- δ_АВ = - 6” – 18” = - 24”

δ_B = δ_BА- δ_ВC = -18 + 22 = + 4

δ_С = δ_CВ- δ_CА =+ 22 - 6 = +18

7. Вычисление координат вершин В и С треугольника в первом приближении и поправок δ”_ik , δ”_ki и ∆S_АС во втором приближении

δ”_ik = - f_m(∆х_ki)[y_m - ∆у_ki /6 – y³_m /3R²_m];

δ”_ki = f_m(∆х_ki)[y_m +∆у_ki /6 + y³_m /3R²_m];

∆S_АС = S_AС (у²_m/ 2R²_m +∆у²/24 R²_m+y⁴_m /24R⁴_m),

где для В_m = 55⁰: R_m= 6384,653 км ; f_m= 0,00253 ”/ км², S_{AС –} в метрах

α Угол δ αАС S, км ∆S, м s, км cos αАС sin αАС xA, км ∆х, км хС, км уА, км ∆у, км уС, км Вm уm, км ∆у / 6 Rm, км у3m/3R2m fm δ”ik δ”ki у2m/2R2m ∆у2/24 R2m y4m/24 R4m ∆S, м dАС, м

1090 49′ 22” 45,297 45,316 - 0,33911 0,94075 5 728,164 -15,367 5 712,797 - 205,079 42,631 - 162,448 520 - 183,764 7,105 6 384,653 - 0,051 0,00253 - 7,419 +6,866 0,000414 0,000002 0,000000 18, 844 45 316,126

1090 49′ 22” - 62 12 45 - 24 47 37 01 54,341 54,364 0,67408 0,73865 5 728,164 36,646 5 764,810 - 205,079 40,156 - 164,923 520 - 185,001 6,693 6 384,653 - 0,052 0,00253 17,768 - 16,536

2890 49′ 22” + 67 27 00 357 16 40 52,055 52,072 0,99887 - 0,04749 5 712,797 52,013 5 764,810 - 162,448 - 2,473 - 164,921 520 - 163,684 - 0,412 6 384,653 - 0,036 0,00253 21,480 - 21,599

8. Вычисление поправок δ”_i в углы треугольника во втором приближении

δ_А = δ_АС- δ_АВ = - 7,419” – 17,768” = - 25,187”

δ_B = δ_BА- δ_ВC = -16,536 + 21,599 = + 5,063

δ_С = δ_CВ- δ_CА =+ 21,480 - 6,866 = +14,614

Контроль: Σδ_i = - ε, ε= f ab sinC = 5.511” Σ= - 5,510”

9. Окончательное решение треугольника на плоскости

Вершины	Сферический угол	δ”i	Углы плоские	Синусы углов	Сторона d, м
А	62012′45,257”	-25,187	62012′ 20,070”	0,88462635	52 072,252
В	50 20 20,552	5,063	50 20 25,615	0,76985031	45 316,126
С	67 26 59,701	14,614	67 27 14,315	0,92357184	54 364,722
Σ ε	180 00 05,510 05,510	- 5,510	180 00 00,000

10. Вычисление точного значения исходного дирекционного угла α_АС

А_АС = 107⁰ 30′ 00,000”

- γ_А = - 2 19 27,707

+δ_АС = - 7,419

α_АС = 109⁰ 49′ 20,288”